Xoắn ốc logarit

Xoắn ốc logarit, xoắn ốc đẳng giác, hoặc xoắn ốc tăng trưởng là là một đường cong xoắn ốc tự tương tự thường xuất hiện trong tự nhiên. Xoắn ốc logarit được mô tả đầu tiên bởi Descartes và sau đó được điều tra rộng rãi bởi Jacob Bernoulli, gọi là Spira mirabilis, "vòng xoắn ốc kỳ diệu".

Xoắn ốc logarit (cao độ 10°)

Các xoắn ốc logarit có thể được phân biệt với xoắn ốc Archimedean bởi thực tế là khoảng cách giữa các vòng quay của một vòng xoắn logarit tăng lên trong cấp số nhân, trong khi trong một vòng xoắn ốc Archimedean những khoảng cách này là không đổi.

Định nghĩa

Ở tọa độ cực, $(r,\varphi )$ xoắn ốc logarit có thể được viết như

$r=ae^{k\varphi },\quad \varphi \in \mathbb {R} ,$

hoặc

$\varphi ={\frac {1}{k}}\ln {\frac {r}{a}},$

với $e$ là cơ sở của logarit tự nhiên, và $a,k\neq 0$ là hằng số thực.

Trong tọa độ Descartes

Vòng xoắn logarit với phương trình cực

$\;r=ae^{k\varphi }$

có thể được biểu diễn trong tọa độ Descartes $(x=r\cos \varphi ,\,y=r\sin \varphi )$ bởi

• $x=ae^{k\varphi }\cos \varphi ,\qquad y=ae^{k\varphi }\sin \varphi .$

Bên trong mặt phẳng phức $(z=x+iy,\,e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi )$:

• $z=ae^{(k+i)\varphi }.$

Liên kết ngoài

• Spira mirabilis Lưu trữ 2007-07-15 tại Wayback Machine lịch sử và toán học
• NASA Astronomy Picture of the Day: Hurricane Isabel vs. the Whirlpool Galaxy (ngày 25 tháng 9 năm 2003)
• NASA Astronomy Picture of the Day: Typhoon Rammasun vs. the Pinwheel Galaxy (ngày 17 tháng 5 năm 2008)
• SpiralZoom.com, một trang web giáo dục về khoa học hình thành mô hình, xoắn ốc trong tự nhiên và xoắn ốc trong trí tưởng tượng thần thoại.
• Online exploration using JSXGraph (JavaScript)