Đại số trên một trường

Trong toán học, một đại số trên một trường (thường được gọi đơn giản là đại số) là một không gian vectơ được trang bị một tích song tuyến tính.

Định nghĩaSửa đổi

Đặt K là một trường và đặt Akhông gian vectơ trên K được trang bị một phép toán hai ngôi A × A đến A, ký hiệu là · (nghĩa là nếu xy là hai phần tử bất kỳ của A, x · ytích của xy). Thế thì A là một đại số trên K nếu các đẳng thức sau đúng cho tất cả các phần tử x, yz của A và tất cả các phần tử (thường được gọi là vô hướng) ab của K:

  • Phân phối phải: (x + y) · z = x · z + y · z
  • Phân phối trái: z · (x + y) = z · x + z · y
  • Tương thích với nhân vô hướng: (a x) · (b y) = (ab) (x · y).

Ba tiên đề này là một cách khác để nói rằng phép toán hai ngôi là song tuyến tính. Đại số trên K cũng được gọi là K-đại số.

Ví dụSửa đổi

Ta có  -đại số  ,   đại số các quaternion  ,  -đại số các octonion  ,  -đại số các ma trận  .

Với   là một trường bất kì, ta cũng có  -đại số các ma trận  .

Các khái niệm cơ bảnSửa đổi

Đồng cấu đại sốSửa đổi

Cho K-đại số AB, phép đồng cấu K -đại số là ánh xạ K-tuyến tính f: AB sao cho f(xy)=f(x)f(y) với mọi x,y trong A. Không gian của tất cả các đồng cấu K-đại số giữa AB thường được ký hiệu là

 

Đại số kết hợpSửa đổi

Một đại số là kết hợp nếu phép nhân có tính kết hợp.

Đại số phi kết hợpSửa đổi

Đại số và vànhSửa đổi

Đôi khi, một K-đại số được định nghĩa là một vành A cùng với phép đồng cấu vành

 

Phép nhân vô hướng

 

được cho bởi

 

Đại số trên một vànhSửa đổi

Xét một vành giao hoán A. Một A-đại số (một đại số trên vành A) được định nghĩa là một vành B cùng với một phép đồng cấu vành

 

Phép nhân vô hướng

 

được cho bởi

 

trang bị cho B một cấu trúc A-mô-đun.

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi