Đại số trên một trường

Trong toán học, một đại số trên một trường (thường được gọi đơn giản là đại số) là một không gian vectơ được trang bị một tích song tuyến tính.

Định nghĩa

Đặt K là một trường và đặt A là không gian vectơ trên K được trang bị một phép toán hai ngôi A × A đến A, ký hiệu là · (nghĩa là nếu x và y là hai phần tử bất kỳ của A, x · y là tích của x và y). Thế thì A là một đại số trên K nếu các đẳng thức sau đúng cho tất cả các phần tử x, y và z của A và tất cả các phần tử (thường được gọi là vô hướng) a và b của K:

Phân phối phải: (x + y) · z = x · z + y · z
Phân phối trái: z · (x + y) = z · x + z · y
Tương thích với nhân vô hướng: (a x) · (b y) = (ab) (x · y).

Ba tiên đề này là một cách khác để nói rằng phép toán hai ngôi là song tuyến tính. Đại số trên K cũng được gọi là K-đại số.

Ví dụ

Ta có $\mathbb {R}$ -đại số $\mathbb {C}$ , $\mathbb {R}$ đại số các quaternion $\mathbb {H}$ , $\mathbb {R}$ -đại số các octonion $\mathbb {O}$ , $\mathbb {R}$ -đại số các ma trận $M_{n}(\mathbb {R} )$ .

Với $k$ là một trường bất kì, ta cũng có $k$ -đại số các ma trận $M_{n}(k)$ .

Các khái niệm cơ bản

Đồng cấu đại số

Cho K-đại số A và B, phép đồng cấu K -đại số là ánh xạ K-tuyến tính f: A → B sao cho f(xy)=f(x)f(y) với mọi x,y trong A. Không gian của tất cả các đồng cấu K-đại số giữa A và B thường được ký hiệu là