Tính kết hợp

Trong toán học, tính kết hợp là tính chất của một số phép toán hai ngôi, mà sao cho bất kể cách ta đặt dấu ngoặc hợp lý trong biểu thức sẽ không thay đổi giá trị kết quả của biểu thức. Trong mệnh đề logic, tính kết hợp là một quy tắc thay thế hợp lệ cho các biểu thức trong chứng minh logic.

Xem các ví dụ sau:

$1+(3+5)=(1+3)+5=9\,$

$(2\times 3)\times 5=2\times (3\times 5)=30.$

Tính kết hợp không phải là tính giao hoán (Tính giao hoán đề cập đến thứ tự của toán hạng trong biểu thức, nghĩa là bất kể sự thay đổi thứ tự toán hạng trong biểu thức, giá trị kết quả của nó không thay đổi).

Các phép toán có tính kết hợp xuất hiện nhiều trong toán học, nhưng đồng thời cũng có phép toán không có tính kết hợp như phép trừ, phép lũy thừa, ...

Định nghĩa

Giả sử trên một tập hợp X bất kì có trang bị một phép toán hai ngôi *, tức là tồn tại một hàm số:

$f:X\times X\rightarrow X\ \ \ (a,b)\mapsto c=f(a,b)$

Ta ký hiệu:

a*b = f(a,b)

Phép toán * có tính kết hợp nếu như

(a*b)*c = a*(b*c)

với mọi a, b, c là phần tử của X.

Ví dụ khác

• Các phép toán cộng và nhân trên số thực có tính kết hợp.
• Phép nhân ma trận có tính kết hợp, nhưng không có tính giao hoán.
• Hai phép bội chung nhỏ nhất và ước chung lớn nhất có tính kết hợp.

$\left.{\begin{matrix}\operatorname {BCNN} (\operatorname {BCNN} (x,y),z)=\operatorname {BCNN} (x,\operatorname {BCNN} (y,z))=\operatorname {BCNN} (x,y,z)\ \quad \\\operatorname {UCLN} (\operatorname {UCLN} (x,y),z)=\operatorname {UCLN} (x,\operatorname {UCLN} (y,z))=\operatorname {UCLN} (x,y,z)\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{ với mọi }}x,y,z\in \mathbb {Z} .$

• Phép cộng và nhân của số phức và số quaternion có tính kết hợp. Khi sang các số octonion thì phép cộng vẫn mang tính kết hợp, nhưng phép nhân thì không.
• Trong khoa học máy tính, phép nối xâu có tính kết hợp. Cụ thể nếu ta có "Hôm nay ", "trời ", "nắng", việc nối xâu đầu tiên với xâu thứ hai rồi mới nối xâu thứ ba, hoặc nối xâu thứ hai với xâu thứ ba rồi mới nối xâu thứ nhất đều cho chung một kết quả là "Hôm nay trời nắng". Phép nối xâu không có tính giao hoán.

Phép toán không có tính kết hợp

Một phép toán hai ngôi * trên tập S gọi là phép toán không có tính kết hợp nếu

$(x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad {\mbox{với một số }}x,y,z\in S$

Đối với các phép toán như vậy, thứ tự tính toán trở nên quan trọng, lấy ví dụ:

• Phép trừ

$5-(3-2)\neq (5-3)-2$

• Phép chia

$4/(2/2)\neq (4/2)/2$

• Phép lũy thừa

$2^{(1^{2})}\neq (2^{1})^{2}$

Xem thêm

• Phép toán hai ngôi
• Giao hoán
• Phân phối