Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Định lý Heine–Borel”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
n Thi Dinh Nguyen đã đổi Định lý Heine - Borel thành Định lý Heine-Borel |
Không có tóm lược sửa đổi |
||
Dòng 1:
Trong tô pô của không gian metric, định lý Heine-Borel nói rằng:
Một tập con <math>
==Chứng minh==
Giả sử <math>A</math> compact. Vì <math>\mathbb{R}^n</math> là không gian Hausdorff nên <math>A</math> đóng. Lấy một họ
:<math>\left\{ B(0,m)|m\in\mathbb{Z}^{+}\right\}</math>
các phủ mở của <math>A</math>. Vì <math>A</math> compact nên có phủ con hữu hạn. Do đó có <math>M</math> sao cho <math>A\subset B(0,M)</math>. Nên, với hai điểm bất kỳ <math>x</math> và <math>y</math> của <math>A</math>, ta có <math>d(x,y)\leq 2M</math>. Vậy <math>A</math> bị chặn.
Ngược lại, nếu <math>A</math> đóng và bị chặn, giả sử <math>d(x,y)\leq N</math> với mọi <math>x,y\in A</math>. Cố định một điểm <math>x_0</math> của <math>A</math>, đặt <math>d(x_0,0)=b</math>. Khi đó, với mọi <math>x\in A</math> thì
:<math>d(x,0)\leq d(x,x_0)+d(x_0,0)\leq N+b</math>.
Đặt <math>P=N+b</math>, thì <math>A</math> là tập con của <math>[-P,P]^n</math>, là tập compact. Vì <math>A</math> đóng nên <math>A</math> cũng compact.
| |||