Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Không gian mêtric”

 

===Topo sinh bởi metric===

Cho ''(X,d)'' là không gian metric, họ các quả cầu mở <math>\mathfrak{B} = \{B_d(a,r): a \in X, r>0 \}</math> là [[Cơ sở (đại số tuyến tính)|cơ sở]] của topo trên X. <ref>Colin Adams, Robert Franzosa (June 28, 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 164, ISBN-10: 0131848690, Pearson.</ref>

 

::Lấy <math>B_1, B_2</math> là hai tập trong <math>\mathfrak{B}</math>, và giả sử <math>x \in B_1 \cap B_2</math>. Khi đó theo bổ đề '''1.2.1''', tồn tại <math> \delta_1, \delta_2 >0</math> sao cho <math>B_d(x, \delta_1) \subset B_1</math> và <math>B_d(x,\delta_2) \subset B_2</math>. Đặt <math>\delta = min\{\delta_1,\delta_2 \}</math>. Khi đó <math>x \in B_d(x,\delta) \subset B_1 \cap B_2</math> như yêu cầu.

 

Lấy ''(X,d)'' là không gian metric, topo sinh bởi cơ sở các quả cầu mở <math>\mathfrak{B} = \{B_d(a,r): a \in X, r>0 \}</math> được gọi là topo sinh bởi metric (còn gọi là topo metric).

 

Cho ''(X,d)'' là không gian metric, một tập <math> U \in X </math> là mở trong topo sinh bởi metric ''d'' nếu và chỉ nếu với mỗi <math> y \in U </math> tồn tại <math> \delta >0 </math> sao cho <math>B_d(y, \delta) \subset U</math>.

 

== Một số tính chất, định nghĩa khác của không gian metric==

===Một số định nghĩa liên quan===

Cho <math>d_{1},d_{2} </math> là 2 metric trên ''X''. 2 metric này gọi là tương đương nếu tồn tại <math>\alpha,\beta>0</math> sao cho

::<math>\alpha d_{1}\left(x,y\right)<d_{2}\left(x,y\right)<\beta d_{1}\left(x,y\right)</math>.

:3 metric <math>d_{1}\left(x,y\right), d\left(x,y\right) </math> và <math>d_{\infty}\left(x,y\right)</math> là tương đương với nhau trên <math>\mathbb{R}^{n}</math> :

:2 metric <math>d\left(x,y\right)</math> và <math>d'\left(x,y\right)=\min\left\{ 1,d\left(x,y\right)\right\} </math> không tương đương với nhau trên ''X'' nhưng sinh ra cùng topo trên ''X''

Cho <math>\left(X,d\right)</math> là không gian metric, một tập con <math>A\subset X</math> gọi là chặn theo ''d'' nếu tồn tại <math>\mu>0</math> sao cho <math>d\left(x,y\right)< \mu </math>;<math>\forall</math> <math>x,y\in A</math>.

 

Nếu bản thân ''X'' bị chặn theo ''d'' thì nói ''d'' là metric bị chặn. <ref> Colin Adams, Robert Franzosa (June 28, 2007), ''Introduction to Topology: Pure and Applied'', trang 176, ISBN-10: 0131848690, Pearson.</ref>

 

Cho <math>\left(X,d\right)</math> là không gian metric, một song ánh <math>f:\, X\rightarrow Y </math> được gọi là đẳng cấu đẳng cự (isometry) nếu <math>d_{X}\left(x,x'\right)=d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x'\right)\right)</math>, <math>\forall </math> <math>x,x'\in X</math>

 

<ref>Colin Adams, Robert Franzosa (June 28, 2007), ''Introduction to Topology: Pure and Applied'', trang 178, ISBN-10: 0131848690, Pearson.</ref>.

 

Cho <math>\left(X,d\right) </math> là không gian topo, ''X'' là [[không gian mêtric hóa được]] (metrizable) nếu tồn tại một metric ''d'' trên ''X'' mà nó sinh ra topo trên ''X'' <ref>Colin Adams, Robert Franzosa (June 28, 2007), ''Introduction to Topology: Pure and Applied'', trang 180, ISBN-10: 0131848690, Pearson.</ref>.

 

 

=== Các định lý ===

:Mọi không gian metric đều tách được theo ''(T.4)''<ref>Colin Adams, Robert Franzosa (June 28, 2007), ''Introduction to Topology: Pure and Applied'', trang 182, ISBN-10: 0131848690, Pearson.</ref>.

 

:Cho <math> \left(X,d_{X}\right) </math> và <math> \left(X,d_{Y}\right) </math> là các không gian metric.

:<math> f:X\rightarrow Y </math> là liên tục nếu và chỉ nếu với mỗi <math>x\in X,\epsilon>0 </math> có <math>\delta>0 </math> sao cho

:Nếu <math>f:X\rightarrow Y</math> liên tục thì với mọi <math>U</math> mở trong <math>Y</math> thì <math>f^{-1}(U)</math> mở trong <math>X</math> .

 

[[File:Minhhoatopo.jpg|Minhhoatopo|right|300px]]

:Cho ''d,d' '' là metric trên không gian ''X'', với <math> \tau,\tau' </math> lần lượt là các topo sinh bởi 2 metric trên. Khi đó, <math>\tau'</math> mịn hơn <math>\tau</math> nếu và chỉ nếu với mỗi <math> x\in X</math> và <math>\epsilon>0</math>, thì có <math>\delta>0</math> sao cho <math>B_{d'}\left(x,\delta\right)\subset B_{d}\left(x,\epsilon\right)</math>