Mở trình đơn chính

Trong toán học, không gian mêtric là một tập hợp mà một khái niệm của khoảng cách (được gọi là mêtric) giữa các phần tử của tập hợp đã được định nghĩa.

Không gian mêtric gần gũi nhất với cách hiểu trực quan của con người là không gian Không gian Euclide 3 chiều. Khái niệm "mêtric" trong thực tế là sự tổng quát hóa của mêtric Euclide phát sinh từ 4 thuộc tính được biết đến lâu đời của khoảng cách Euclide.[1] Không gian metric Euclide định nghĩa khoảng cách giữa 2 điểm bằng chiều dài theo đoạn thẳng nối chúng với nhau. Một không gian mêtric khác trong hình học Elíp và hình học hyperbolic, có khoảng cách trên quả cầu được đo bằng góc của một mêtric, và mô hình hyperboloid của hình học hyperbolic được dùng bởi thuyết tương đối hẹp với một không gian mêtric vận tốc.

Sơ lược về không gian metricSửa đổi

Định nghĩa không gian metricSửa đổi

Cho E là một tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ   thỏa mãn:

  1. d(x, y) ≥ 0, với mọi x,y   E (tính phân biệt dương)
  2. d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y
  3. d(x, y) = d(y, x), với mọi x,y   E (tính đối xứng)
  4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), với mọi x,y,z   E (bất đẳng thức tam giác)

Khi đó d được gọi là khoảng cách hay một metric trên E và cặp (E,d) được gọi là một không gian mêtric. Không gian metric (E,d) thường được viết là E với d được hiểu ngầm khi không bị nhầm lẫn.[2]

Một số metric thông dụng trong không gian RnSửa đổi

Cho  ,  
 
  p   1/p , khi p=2, metric này gọi là metric Euclide.
 
  gọi là metric rời rạc.
  Với mọi  .

Metric trên không gian hàm từ tập A bất kỳ vào không gian metric (X,d)Sửa đổi

Xác định bởi  .

Trong đó  .

Metric trên không gian các hàm liên tục từ [a,b] vào RSửa đổi

Xác định bởi  .

Trong đó   liên tục.

Quả cầu mở, quả cầu đóngSửa đổi

Cho  là không gian metric và  r>0, theo định nghĩa [3]:

  •   là quả cầu mở tâm a, bán kính r trong không gian metric (X,d).
  •   là quả cầu đóng tâm a, bán kính r trong không gian metric (X,d).

Xét các bổ đề sau:

Bổ đềSửa đổi

Cho (X,d) là không gian metric, nếu   thì   sẽ có tồn tại   sao cho:

 .

Chứng minh:

Đặt  , cần chứng minh  
Hay lấy   bất kỳ, thì  
Do đó  
 
 

Ví dụ về tập mở theo các metric trong R2Sửa đổi

Cho   và các metric sau:

 
 2 2 1/2
 

Khi đó các quả cầu mở tương ứng với các metric trên trong   lần lượt là:   như hình vẽ:

 

Topo sinh bởi metricSửa đổi

Định lýSửa đổi

Cho (X,d) là không gian metric, họ các quả cầu mở  cơ sở của topo trên X.[4]

Chứng minh:

Điều cần chứng minh   là cơ sở
Với mỗi   được chứa trong một tập của  . Dễ thấy  
Xét điều kiện thứ 2 cho một cơ sở được thỏa, cần chỉ ra rằng nếu    thì có tồn tại   sao cho  .
Lấy   là hai tập trong  , và giả sử  . Khi đó theo bổ đề 1.2.1, tồn tại   sao cho   . Đặt  . Khi đó   như yêu cầu.

Định nghĩaSửa đổi

Lấy (X,d) là không gian metric, topo sinh bởi cơ sở các quả cầu mở   được gọi là topo sinh bởi metric (còn gọi là topo metric).

Định lýSửa đổi

Cho (X,d) là không gian metric, một tập   là mở trong topo sinh bởi metric d nếu và chỉ nếu với mỗi   tồn tại   sao cho  .

Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 tậpSửa đổi

Cho X,Y là hai không gian metric và  , A là tập con trong X.

  được gọi là khoảng cách từ điểm x đến tập A theo đó   khi và chỉ khi   có thể kiểm chứng   là metric và nó liên tục.

Khoảng cách HausdorffSửa đổi

 
Ví dụ về khoảng cách Hausdorff

Cho X,Y là hai không gian metric và  , AB lần lượt là các tập con trong X,Y.

  được gọi là khoảng cách từ tập A đến tập B

Hay còn có thể viết rút gọn là:

 

Khoảng cách này cũng là một metric và được gọi là metric Hausdorff.

  khi và chỉ khi  

Không gian metric tíchSửa đổi

Không gian metric tích là không gian tích của tất cả các không gian metric, cụ thể:

Cho   là các không gian metric, định nghĩa   là không gian metric tích.

Cho  . Đặt    thì

 

Ví dụ Cho   là các không gian metric, định nghĩa metric tích trên   như sau:

 .

Kiểm tra được   là metric trên  

Một số ứng dụng của metricSửa đổi

Trong lý thuyết thông tin: sự sai lệch các đoạn mã và ký tựSửa đổi

Với lượng thông tin khổng lồ được truyền qua điện thoại, Internet hay từ vệ tinh ngoài không gian đến Trái Đất,... Điều này cực kỳ quan trọng nếu đảm bảo sự nguyên vẹn của thông tin khi nhận được.[5]

Khoảng cách HammingSửa đổi

Khoảng cách Hamming là cái tên được đặt theo tên của Richard Hamming, người giới thiệu lý thuyết này trong tài liệu có tính cơ sở của ông về mã phát hiện lỗi và sửa lỗi (error-detecting and error-correcting codes). Nó được sử dụng trong kỹ thuật viễn thông để tính số lượng các bit trong một từ nhị phân (binary word) bị đổi ngược, như một hình thức để ước tính số lỗi xảy ra trong quá trình truyền thông, và vì thế, đôi khi, nó còn được gọi là khoảng cách tín hiệu (signal distance). Việc phân tích trọng lượng Hamming của các bit còn được sử dụng trong một số ngành, bao gồm lý thuyết tin học, lý thuyết mã hóa, và mật mã học. Tuy vậy, khi so sánh các dãy ký tự có chiều dài khác nhau, hay các dãy ký tự có xu hướng không chỉ bị thay thế đi, mà còn bị ảnh hưởng bởi dữ liệu bị chèn thêm vào, hoặc bị xóa đi, phương pháp đo đạc phức tạp hơn.

Trong lý thuyết thông tin, khi một thông tin được chuyển đi, ví dụ như khi gửi 1 tin nhắn, giả sử nó được mã hóa dưới dạng nhị phân gồm hữu hạn các dãy ký tự 0,1. n phần tử như vậy được gọi là 1 từ có chiều dài n. Mỗi từ có chiều dài n như vậy có thể xem như một vector có chiều dài n gồm toàn bộ các ký tự chỉ chứa những số 0 và 1. Tập tất cả các ký tự như vậy được viết là  . Do đó   là tích của n cặp  .

Định nghĩa một metric giữa 2 từ trên tập này là số các vị trí mà tại đó chúng khác nhau.

Metric này được gọi là khoảng cách Hamming.

Ký hiệu là  

Ví dụ: Cho 2 đoạn mã nhị phân

 

 .

Theo trên   khác nhau ở các vị trí thứ 2,4 và 9 nên  

Đối với trình tự ADN (DNA Sequence) và trong khoa học máy tínhSửa đổi

Như đã trình bày ở mục trên: "khi so sánh các dãy ký tự có chiều dài khác nhau, hay các dãy ký tự có xu hướng thay thế, mất, chèn,... phức tạp hơn, như khoảng cách Levenshtein (Levenshtein distance) là một phương pháp có tác dụng và thích hợp hơn."

Ngoài ra, trong các thuật toán của bộ môn khoa học máy tính, khái niệm khoảng cách Levenshtein thể hiện khoảng cách khác biệt giữa 2 chuỗi ký tự. Khoảng cách này được đặt theo tên Vladimir Levenshtein, người đã đề ra khái niệm này vào năm 1965. Nó được sử dụng trong việc tính toán sự giống và khác nhau giữa 2 chuỗi, như chương trình kiểm tra lỗi chính tả của winword spellchecker.

Khoảng cách LevenshteinSửa đổi

Khoảng cách Levenshtein giữa dãy xy xác định bởi:  

Trong đó:

  (insertions in sequence) đại diện cho số các phần tử chèn vào trong dãy.
  (deletions in sequence) đại diện cho số phần tử bị xóa đi.
  (replacements in sequence) chỉ số những vị trí bị thay thế.

Ví dụ

Tính khoảng cách Levenshtein giữa 2 dãy DNA sau:

X= AGTTCGAATCC, Y=AGCTCAGGAATC

Với X= AGTTCGAATCC

Thay thế T:   AGCTCGAATCC
Thêm vào A: AGCTCAGAATCC
Thêm vào G: AGCTCAGGAATCC
Xóa đi C:   AGCTCAGGAATC

Do đó, số tối thiểu các phép chèn, xoá đi và thay thế để biến đổi X thành Y hay khoảng cách Levenshtein giữa XY là:

 

Một số tính chất, định nghĩa khác của không gian metricSửa đổi

Một số định nghĩa liên quanSửa đổi

Định nghĩaSửa đổi

Cho   là 2 metric trên X. 2 metric này gọi là tương đương nếu tồn tại   sao cho

 .
Ví dụ
3 metric    là tương đương với nhau trên  :
2 metric    không tương đương với nhau trên X nhưng sinh ra cùng topo trên X

Định nghĩaSửa đổi

Cho   là không gian metric, một tập con   gọi là chặn theo d nếu tồn tại   sao cho  ;   .

Nếu bản thân X bị chặn theo d thì nói d là metric bị chặn.[6]

Định nghĩaSửa đổi

Cho   là không gian metric, một song ánh   được gọi là đẳng cấu đẳng cự (isometry) nếu  ,    

Nếu   là một isometry thì có thể nói các không gian metric X,Y là đẳng cự (isometric) [7].

Định nghĩaSửa đổi

Cho   là không gian topo, Xkhông gian mêtric hóa được (metrizable) nếu tồn tại một metric d trên X mà nó sinh ra topo trên X [8].

Ví dụ: Xét topo Euclid trên đường tròn   như một không gian con thừa hưởng topo Euclid trên mặt phẳng  .

Topo này metric hóa được do:

Một cơ sở trên   có được bằng cách giao các quả cầu mở trong   với  .

Xét metric trên   được xác định bằng cách đặt   (tính theo radian) là góc không âm nhỏ nhất sao cho đường tròn điểm pq trùng nhau.

Với metric này, các quả cầu mở sẽ là những khoảng mở trên đường tròn nên cơ sở của các quả cầu mở cho topo trên   sinh ra bởi   có cùng cơ sở như topo Euclid trên  .

Các định lýSửa đổi

Định lýSửa đổi

Mọi không gian metric đều tách được theo (T.4)[9].

Định lýSửa đổi

Cho    là các không gian metric.
  là liên tục nếu và chỉ nếu với mỗi    sao cho
nếu    thì  .[10]
Ngoài ra, định nghĩa sự liên tục của hàm   theo định nghĩa tập mở:
Nếu   liên tục thì với mọi   mở trong   thì   mở trong  .

Định lýSửa đổi

Cho d,d' là metric trên không gian X, với   lần lượt là các topo sinh bởi 2 metric trên. Khi đó,   mịn hơn   nếu và chỉ nếu với mỗi   , thì có   sao cho  

Chứng minh:

Xét chiều  . Giả sử   mịn hơn  .
Khi đó mỗi tập mở trong   là mở trong  , hay    ,  ,  mở trong   do đó mở trong  
Do   mở trong   và chứa 'x'.
Theo Định lý 1.3.1 thì có   sao cho  
Xét chiều   với mỗi  , , tồn tại   sao cho  .
Cần chứng minh   mịn hơn  .
Lấy 'U' mở trong  , điều cần chứng minh nó mở trong  .
Lấy   bất kỳ, do   mở trong   nên theo Định lý 1.3.1 thì có   sao cho  
Giả sử có   sao cho  , hay  .
Điều này dẫn đến với mỗi  , có một   sao cho  .
Theo Định lý 1.3.1,   mở trong   (điều phải chứng minh)

Định lý 3.2.4Sửa đổi

Nếu   là không gian topo metric hóa và Y đồng phôi với X thì Y cũng metric hóa được. [11]

Định lý 3.2.5Sửa đổi

Một không gian metric là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy đều có dãy con hội tụ. Hay:

Cho   là không gian metric, ta nói   compact nếu và chỉ nếu mọi dãy   đều có dãy con   của   hội tụ trong  . [12]

Hơn nữa, nếu   là tập con compact trong   với   là không gian metric Euclide với topo Euclide thì   đóng và bị chặn.[13]

Chú thíchSửa đổi

  1. ^ Satish Shirali and Harkrishan L. Vasudeva (2006), Metric Spaces, Trang 27 - 28, ISBN 1-85233-922-5, Springer Science Business Media
  2. ^ T. W. K¨orner (ngày 27 tháng 5 năm 2013), Metric and Topological Spaces, trang 4, Faculty Board Schedules, Đại học Cambridge.
  3. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (ngày 28 tháng 6 năm 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 163, ISBN 0131848690, Pearson.
  4. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (ngày 28 tháng 6 năm 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 164, ISBN 0131848690, Pearson.
  5. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (ngày 28 tháng 6 năm 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 168, ISBN 0131848690, Pearson.
  6. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (ngày 28 tháng 6 năm 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 176, ISBN 0131848690, Pearson.
  7. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (ngày 28 tháng 6 năm 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 178, ISBN 0131848690, Pearson.
  8. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (ngày 28 tháng 6 năm 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 180, ISBN 0131848690, Pearson.
  9. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (ngày 28 tháng 6 năm 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 182, ISBN 0131848690, Pearson.
  10. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (ngày 28 tháng 6 năm 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 174, ISBN 0131848690, Pearson.
  11. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (ngày 28 tháng 6 năm 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 181, ISBN 0131848690, Pearson.
  12. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (ngày 28 tháng 6 năm 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 235, ISBN 0131848690, Pearson.
  13. ^ Colin Adams, Robert Franzosa (ngày 28 tháng 6 năm 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied, trang 234, ISBN 0131848690, Pearson.

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi