Ánh xạ

quan hệ hai ngôi giữa hai tập hợp liên kết mỗi phần tử của tập hợp đầu tiên với đúng một phần tử của tập hợp thứ hai trong toán học

Trong toán học, ánh xạ (Tiếng Anh: mapping/ Tiếng Hán:映射) là một khái niệm chỉ quan hệ hai ngôi giữa hai tập hợp liên kết mỗi phần tử của tập hợp đầu tiên (được gọi là tập nguồn) với đúng một phần tử của tập hợp thứ hai (được gọi là tập đích). Tập nguồn và tập đích không nhất thiết phải là tập số thực hay tập con của tập số thực mà hoàn toàn có thể là tập hợp của các vector, hàm giải tích, biến ngẫu nhiên, ... Nói cách khác, một ánh xạ biểu hiện một quy tắc hay thao tác biến đổi toán học nhất định từ một phần tử trên một không gian (tập hợp) sang đúng một phần tử (thường được gọi là tạo ảnh) trên không gian (tập hợp) thứ hai. Các ánh xạ có thể là toàn ánh, đơn ánh hoặc song ánh phụ thuộc vào tính chất của tạo ảnh trên tập hợp thứ hai, và có thể được thể hiện bởi các toán tử, ký hiệu toán học hoặc các phép toán từ sơ cấp tới cao cấp. Chẳng hạn, phép biến đổi Laplace là một ánh xạ từ tập chứa các hàm trên miền thời gian sang tập chứa các hàm trên miền tần số phức thông qua một phép biến đổi bằng tích phân. Hay một ma trận thường được sử dụng để thể hiện một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian Euclide.

Ánh xạ liên tục giữa hai topo

Khi hai tập hợp là hai tập số thực hoặc tập con của số thực, ánh xạ giữa hai tập này thường được gọi là hàm số. Điều đó có nghĩa là hàm số được coi như một trường hợp đặc biệt của ánh xạ.

Định nghĩa toán học

sửa

Một ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y (ký hiệu  ) là một quy tắc cho mỗi phần tử x   X tương ứng với một phần tử xác định y   Y, phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu  ,[1] nghĩa là  .

Tập X được gọi là tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích.[1]

Với mỗi  , tập con của X gồm các phần tử, có ảnh qua ánh xạ f bằng y, được gọi là tạo ảnh của phần tử y qua f, ký hiệu là  . Ta có .[2]

Với mỗi tập con  , tập con của Y gồm các phần tử là ảnh của   qua ánh xạ f được gọi là ảnh của tập A ký hiệu là f(A). Ta có .[2]

Với mỗi tập con  , tập con của X gồm các phần tử x có ảnh   được gọi là tạo ảnh của tập B ký hiệu là  . Ta có .[2]

Trong tương quan với khái niệm quan hệ, ta cũng có thể định nghĩa:

Một ánh xạ   từ tập X vào tập Y là một quan hệ   từ X vào Y thoả mãn điều kiện: mọi phần tử   đều có quan hệ   với một và chỉ một phần tử  .

Vài tính chất cơ bản

sửa
 
  • Ảnh của tập hợp con là tập hợp con của ảnh
  
  • Ảnh của phần giao nằm trong giao của phần ảnh
 
  • Ảnh của phần hợp là hợp của các phần ảnh
 

Toàn ánh, đơn ánh và song ánh

sửa
 
  • Toàn ánh là ánh xạ từ X vào Y trong đó ảnh của X là toàn bộ tập hợp Y. Khi đó người ta cũng gọi f là ánh xạ từ X lên Y[3]
 
hay
 
  • Đơn ánh là ánh xạ khi các phần tử khác nhau của X cho các ảnh khác nhau trong Y. Đơn ánh còn được gọi là ánh xạ 1-1 vì tính chất này.[4]
 
hay
 
  • Song ánh là ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Song ánh vừa là ánh xạ 1-1 và vừa là ánh xạ "onto" (từ X lên Y).[3]

Một số ánh xạ đặc biệt

sửa
  • Ánh xạ không đổi (ánh xạ hằng): là ánh xạ từ X vào Y sao cho mọi phần tử x   X đều cho ảnh tại một phần tử duy nhất     Y.
  • Ánh xạ đồng nhất: là ánh xạ từ X vào chính X sao cho với mọi phần tử x trong X, ta có f(x)=x.[4]
  • Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f từ tập con   vào Y cho f(x)= x với mọi   (cũng được gọi là đơn ánh chính tắc).[4] Khi đó ta ký hiệu f: X   Y. Một quan niệm khác về ánh xạ nhúng là: nếu   là đơn ánh, khi xem f chỉ là ánh xạ từ X vào tập con  , f sẽ là song ánh. Lúc đó ta có tương ứng 1-1 giữa X với f(X) nên có thể thay thế các phần tử của tập con   bằng các phần tử của tập X. Việc này được gọi là nhúng X vào Y bằng đơn ánh f.

Các phép toán

sửa

Ánh xạ hợp

sửa

Cho hai ánh xạ   . Hợp của hai ánh xạ f, g, ký hiệu là   là ánh xạ từ X vào Z, xác định bởi đẳng thức   (cũng được gọi là tích ánh xạ của f và g).[3]

Một số tính chất của ánh xạ hợp

  • Nếu   là đơn ánh thì f là đơn ánh.
  • Nếu   là toàn ánh thì g là toàn ánh.
  • Nếu   là song ánh thì f và g đều là song ánh.

Ánh xạ nghịch đảo

sửa

Cho ánh xạ  là song ánh. Nếu tồn tại ánh xạ   sao cho

 

 

thì g được gọi là nghịch đảo, hay ánh xạ ngược, của f, ký hiệu là  .

Ánh xạ f có nghịch đảo khi và chỉ khi f là song ánh.[5]

Ánh xạ thu hẹp

sửa

Cho ánh xạ   và một tập con  . Ánh xạ thu hẹp của   về   là một ánh xạ từ   vào  , ký hiệu  , xác định bởi đẳng thức  .[6] Ánh xạ thu hẹp là duy nhất.

Ánh xạ mở rộng

sửa

Cho ánh xạ   và một tập hợp   sao cho  . Một ánh xạ mở rộng của   tới   là một ánh xạ   từ   vào   sao cho  .[6] Nói chung, với mỗi ánh xạ đã cho, có nhiều ánh xạ mở rộng khả dĩ.

Các khái niệm ánh xạ khác (dịch từ tiếng Anh)

sửa

Xem thêm

sửa

Ghi chú

sửa
  1. ^ a b Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 11
  2. ^ a b c Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 13
  3. ^ a b c Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 15
  4. ^ a b c Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 14
  5. ^ Hoàng Xuân Sính (1972), Định lí 5, tr. 16
  6. ^ a b Hoàng Xuân Sính (1972), tr.17

Liên kết ngoài

sửa
Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê