Ảnh (toán học)

Trong toán học, ảnh của một hàm là tập hợp tất cả các giá trị đầu ra mà nó có thể tạo ra.

f là một hàm từ miền X đến đối miền Y. Hình bầu dục màu vàng bên trong Y là ảnh của f.

Định nghĩa

Ảnh của một phần tử

Nếu x là một phần tử của X, thì f(x)=y (giá trị của f tại x) được gọi ảnh của x tạo bởi f.

Ảnh của một tập con

Ảnh của một tập con A ⊆ X tạo bởi f là tập con

$f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}$

Ảnh của một hàm

Ảnh của một hàm là ảnh của toàn bộ miền xác định của nó.

Nghịch ảnh

Đặt f là một hàm từ X đến Y. Nghịch ảnh (hay tạo ảnh) của tập hợp B ⊆ Y dưới f là tập con của X được xác định bởi

$f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.$

Nghịch ảnh của một điểm y còn được gọi là thớ của f tại y hoặc tập mức của y.

Tính chất

Chung

Với mọi $f:X\rightarrow Y$ các tập con $A\subseteq X$, $B\subseteq Y$, ta có:

Hình ảnh	Tiền đề
$f(X)\subseteq Y$	$f^{-1}(Y)=X$
$f(f^{-1}(Y))=f(X)$	$f^{-1}(f(X))=X$
$f(f^{-1}(B))\subseteq B$ (ta có dấu bằng nếu $B\subseteq f(X)$, ví dụ như nếu $f$ là một toàn ánh)	$f^{-1}(f(A))\supseteq A$ (ta có dấu bằng bằng nếu $f$ là một đơn ánh)
$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$	$(f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)$
$f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$	$f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)$
$f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing$	$f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)$
$f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B$	$f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B$
$f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)$	$f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X$
$f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)$	$f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$
$f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B$	$f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)$
$f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B$	$f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)$

• $f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing$

Nhiều hàm

Cho hai hàm $f:X\rightarrow Y$ và $g:Y\rightarrow Z$ và các tập con $A\subseteq X$, $C\subseteq Z$, ta có:

• $(g\circ f)(A)=g(f(A))$
• $(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$

Nhiều tập hợp

Cho hàm $f:X\rightarrow Y$ và các tập con $A_{1},A_{2}\subseteq X$, $B_{1},B_{2}\subseteq Y$, ta có:

Hình ảnh	Tiền đề
$A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})$	$B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})$	$f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})$ (ta có dấu bằng nếu $f$ là đơn ánh )	$f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})$ (ta có dấu bằng nếu $f$ là đơn ánh)	$f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\triangle A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})$ (ta có dấu bằng nếu $f$ là đơn ánh)	$f^{-1}(B_{1}\triangle B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triangle f^{-1}(B_{2})$

Ngoài ra

• $f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})$
• $f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})$
• $f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$
• $f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$

Tham khảo

• Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
• Kelley, John L. (1985). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. Quyển 27 (ấn bản thứ 2). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Munkres, James R. (2000). Topology (ấn bản thứ 2). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9.
• Nguyễn Tiến Quang (2008), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục
• TS Blyth, Dàn và các cấu trúc đại số sắp thứ tự, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.