Dạng định nghĩa epsilon-delta được đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của . Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay.

Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854.

Hàm liên tục trên Sửa đổi

Hàm từ một tập số thực vào một tập số thực có thể biểu diễn bằng đồ thị trong mặt phẳng tọa độ mà không có những lỗ hổng hoặc nhảy.

 

là một hàm được định nghĩa trên tập con của đường thẳng thực  , tập con   gọi là miền xác định của  .

Khoảng mở trên  

 

Khoảng đóng trên  

 

Ở đây   là số thực.

Định nghĩa liên tục theo giới hạn của hàmSửa đổi

Hàm   gọi là liên tục tại điểm   trên miền xác định nếu giới hạn của   khi   tiến dần về   tồn tại và bằng giá trị của  . Ta viết:

 

hay chính là 3 điều kiện sau: 1 là   xác định tại  , 2 là giới hạn bên vế trái là tồn tại, thứ 3 là giá trị của giới hạn phải bằng  .

Hàm   là liên tục nếu liên tục tại mọi điểm trong miền xác định.

Định nghĩa theo giới hạn của dãySửa đổi

Cho dãy   bất kì trên miền xác định hội tụ về  , thì tương ứng dãy   hội tụ về  

 
Biểu diễn liên tục theo delta-epsilon
 
Đồ thị hàm  

Định nghĩa liên tục theo delta-epsilonSửa đổi

Cho số thực bất kỳ  , tồn tại số thực   sao cho với mọi   trong miền xác định của   với  , giá trị của   thỏa

 

Liên tục của   tại   là với mọi  , tồn tại   sao cho với mọi  

 

 
Đồ thị hàm   trên  

Ví dụSửa đổi

Hàm   liên tục trên miền xác định  

Phản ví dụSửa đổi

 

Ví dụ về hàm không liên tục với  , lấy với mọi  , khi đó không tồn tại   sao cho   

Tính chấtSửa đổi

Định lý giá trị trung bìnhSửa đổi

Cho   là liên tục, giả sử   nằm giũa   . Khi đó tồn tại ít nhất một   sao cho  .

Ví dụ như một đứa trẻ từ khi 4 tuổi đến khi 8 tuổi, chiều cao tăng từ 1m đến 1.5m, khi đó sẽ có 1 thời điểm nào đó trong khoảng 4 tuổi đến 8 tuổi, đứa trẻ cao 1.2m

Định lý giá trị cựcSửa đổi

Cho khoảng   (khoảng đóng và bị chặn) và   là liên tục, khi đó  giá trị lớn nhấtgiá trị nhỏ nhất trên  , hay tồn tại   sao cho   với mọi  .

Định lý điểm cố địnhSửa đổi

Cho  ,   liên tục, khi đó tồn tại ít nhất một   sao cho  .

Quan hệ với tính khả tíchkhả viSửa đổi

Mọi hàm   khả vi đều liên tục, điều ngược lại không đúng.

Ví dụ hàm trị tuyệt đối

  là liên tục trên   nhưng không khả vi tại 0.

Đạo hàm   của hàm khả vi   không nhất thiết phải liên tục, nếu có đạo hàm liên tục thì ta gọi là khải vi liên tục. Tập các hàm này không gian hàm  .

Xét tập các hàm

 

Trong đó  tập con mở trong   sao cho hàm   khả vi liên tục đến bậc  .

Tập các hàm này là không gian  .

Mọi hàm

 

đều khả tích, điều ngược lạ không đúng, ví dụ như hàm  

 
Đồ thị hàm  

Liên tục đềuSửa đổi

Giả sử   là tập con của   khi đó

 

liên tục đều trên   nếu với mọi   cho trước tồn tại   chỉ phụ thuộc vào   sao cho   thì

 

Ví dụ như hàm   

 
Dãy hàm liên tục hội tụ về hàm không liên tục

Hội tụ của dãy hàm liên tụcSửa đổi

Cho dãy  

các hàm liên tục sao cho

 

tồn tại với mọi  , khi đó hàm  giới hạn từng điểm của hãy  , hàm   không nhất thiết liên tục cho dù   là liên tục.

Tuy nhiên nếu   liên tục, khi đó dãy   hội tụ đều

Hàm không liên tục mọi nơi[1]Sửa đổi

Là hàm không liên tục tại mọi điểm trên miền xác định. Hàm Dirichlet

Cho    là hai số thực(thường lấy   ), định nghĩa bởi

 

là không liên tục mọi nơi, hàm có thể phân tích thành

  Nếu   là tập con bất kì của không gian tô pô   sao cho cả  phần bù của   trù mật trong   sẽ không liên tục mọi nơi. Hàm này được nghiên cứu đầu tiên bởi Peter Gustav Lejeune Dirichlet.[2]

Liên tục trên không gian mêtricSửa đổi

Định nghĩaSửa đổi

Liên tục trên không gian mê tric với định nghĩa:

Cho    là 2 không gian mê tric.

Ánh xạ   liên tục tại   nếu

 

hay với mọi   tâm tại   khi đó   tâm tại   sao cho

 .

Tính chấtSửa đổi

  • Cho  không gian mêtric,  tập con của   thì   với   là liên tục.

Liên tục Lipchitz[3]Sửa đổi

Cho hai không gian mêtric    với   là mêtric trên    là mêtric trên  .

 liên tục Lipchitz nếu tồn tại hằng số   sao cho với mọi  

 

Ví dụSửa đổi

Hàm   liên tục Lipchitz với  .

Liên tục Holder[3]Sửa đổi

Cho hai không gian mêtric    với   là mêtric trên   mêtric trên  , với  số thực.

 liên tục Holder nếu tồn tại hằng số   sao cho với mọi  

 

Ví dụSửa đổi

 liên tục Holder với  , nhưng không liên tục Lipchitz.

Liên tục Cauchy[4]Sửa đổi

Cho    là hai không gian mêtric,   là hàm từ   vào  .

Hàm  liên tục Cauchy nếu và chỉ nếu cho dãy Cauchy bất kì   trong  , dãy   là dãy Cauchy trong  .

Mọi hàm liên tục đều thì liên tục Cauchy, liên tục Cauchy là liên tục. Nếu  không gian đầy đủ, thì mọi hàm liên tục trên  liên tục Cauchy.

ví dụSửa đổi

Trên đường thẳng thực   liên tục cũng chính là liên tục Cauchy.

Hàm   khi    khi   với mọi số hữu tỉ  . Hàm này liên tục trên   nhưng không liên tục Cauchy

Liên tục trong không gian tô pôSửa đổi

Nghiên cứu về không gian Tô pô, ta có nhiều khái niệm khác nhau về quan hệ giữa các không gian tô pô với nhau và giữa các không gian con của chúng. Ta muốn xem xét hàm đưa một không gian tô pô vào không gian tô pô khác, Tính liên tục của là một trong những khái niệm cốt lõi của không gian tô pô, được mô tả trực quan tính sinh động trong không gian hình học.

Định nghĩaSửa đổi

 
Ánh xạ từ X vào Y liên tục tại điểm x
U là lân cận của x trong X
  • Cho    là hai không gian tô pô. Ánh xạ   là liên tục tại điểm   trong   nếu mọi tập mở   trong   chứa   thì có tập mở   của   chứa   sao cho   chứa trong  . Ta nói   liên tục trên   nếu nó liên tục tại mọi điểm trên  .
  • Lân cận của điểm   là tập con của   chứa tập mở chứa  . Lân cận không cần phải mở.
  •   liên tục tại   nếu mọi tập mở   chứa   thì tập   là lân cận của  .[5]

Định lýSửa đổi

  • Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược [6] của tập mở là tập mở. Hay   liên tục khi và chỉ khi với mọi   mở trong   thì   mở trong  .
Chứng minh
( ) Giả sử rằng   là liên tục. Cho   là tập mở trong  . Cho  . Vì   liên tục tại    là lân cận mở của   thì có mở   chứa   sao cho   chứa trong  . Do đó   là mở.
( ) Giả sử rằng ảnh ngược của mọi tập mở là tập mở. Cho  ,   là lân cận mở của  . Khi đó   là tập mở chứa  , và   chứa trong  . Vì thế   liên tục tại  .

Một số tính chất và mệnh đề[7]Sửa đổi

  • Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược của tập đóng là tập đóng.
  • Cho    là hai không gian tô pô cơ sở của tô pô trên  . Khi đó   liên tục nếu và chỉ nếu   là mở trong   với mọi  .
  • Cho   với tô pô định chuẩn. Khi đó mọi hàm đa thức   với   là liên tục.
  • Giả sử   là liên tục. Nếu dãy   trong   hội tụ về   khi đó dãy   trong   hội tụ về  .
  • Cho    liên tục. Khi đó hàm hợp   là liên tục.
  • Cho   là hai không gian tô pô,  không gian con của  . Cho   liên tục. Khi đó   liên tục.

Liên tục trong không gian tô pô liên thông[7]Sửa đổi

  • Cho   liên tục, nếu   liên thông thì   liên thông.
  • Cho   liên tục, nếu   liên thông đường thì   liên thông đường.
  • Cho  không gian tô pô liên thông, và   liên tục. Nếu   , khi đó  . (Định lý giá trị trung bình mở rộng)
  • Cho   liên tục, khi đó tồn tại   sao cho  .

Liên tục trong không gian tô pô compact[7]Sửa đổi

  • Cho   liên tục, nếu   compact thì   compact.
  • Cho   compact và   là liên tục, khi đó  giá trị lớn nhấtgiá trị nhỏ nhất trên  , hay tồn tại   sao cho   với mọi  .
  • Cho  khoảng đóngbị chặn trong  . Giả sử   là liên tục. Khi đó ảnh của  khoảng đóngbị chặn trong  .
 
Ví dụ 1: Tính liên tục của 3 ánh xạ   đi từ không gian tô pô   vào không gian tô pô  
 
Ví dụ 2: Ánh xạ liên tục trên cơ sở

Ví DụSửa đổi

Ví dụ 1: Cho    là 2 không gian tô pô được miêu tả ở hình bên, với   xác định:
 
 
 
  liên tục và   không liên tục.
Ví dụ 2: Xét   với   , có    là hai cơ sở. Ánh xạ
  với  biến mỗi phần tử trong   thành một phần tử trong  ánh xạ ngược của ánh xạ
  với  
Ánh xạ   liên tục.

Xem thêmSửa đổi

Bổ đề dán (The Pasting Lemma)Sửa đổi

Cho   là không gian tô pô,   là hai tập con đóng của   sao cho  . Giả sử rẳng    là liên tục và  . Khi đó   xác định bởi:
 

thì   liên tục trên  .

Liên tục thông qua lướiSửa đổi

Cho   là 2 không gian tô pô. Khi đó   là liên tục tại   nếu và chỉ nếu khi nào có lưới   trong   hội tụ về  , thì lưới   hội tụ về  .
Viết theo ký hiệu quen thuộc:   liên tục tại   nếu và chỉ nếu với mọi lưới  .

Liên tục trên không gian tíchSửa đổi

  • Cho  ,  tập chỉ số. Khi đó

  là liên tục khi và chỉ khi   liên tục với mọi   thuộc  

  • Ánh xạ chiếu   liên tục.
  • Ánh xạ   liên tục khi và chỉ khi mỗi ánh xạ thành phần   liên tục.

Ví dụSửa đổi

Cho hàm  , cho bởi:
 

Mở rộngSửa đổi

Tô pô sinh bởi ánh xạSửa đổi

  • Cho  không gian tô pô,   là một tập, và   là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tô pô trên   sao cho   liên tục.
Yêu cầu của   là nếu   thì  
Tôpô hiển nhiên (the trivial toplogy)[8] trên   thỏa mãn yêu cầu này. Đây là tôpô thô nhất thỏa mãn yêu cầu làm   liên tục.
Mặt khác, họ   là tô pô thực sự trên  . Đây là tôpô mịn nhất thỏa yêu cầu.
  • Cho   là một tập,  không gian tô pô, và   là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tôpô trên   sao cho   liên tục.
Yêu cầu của   là nếu   thì  .
Tôpô rời rạc trên   là tôpô mịn nhất thỏa mãn yêu cầu.
Ta có thể thấy xa hơn rằng nếu họ   sinh ra   thì   được sinh bởi họ  .

Đồng phôiSửa đổi

 
Ví dụ 2: Mặt phẳng đồng phôi với nửa mặt phẳng và đồng phôi với đĩa tròn
  • Ánh xạ đi từ một không gian tôpô vào không gian tôpô khác được gọi là phép đồng phôi nếu nó là song ánh, liên tục và ánh xạ ngược cũng liên tục.
  • Hai không gian gọi là đồng phôi, thường viết là  , nếu có một phép đồng phôi từ không gian này vào không gian kia.

Đồng luânSửa đổi

 
Ví dụ 3: Biến đổi đồng luân
  • Định nghĩa: Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục    từ không gian tô pô   vào không gian tô pô   được định nghĩa là ánh xạ   từ tích của không gian   với đoạn đơn vị   vào   sao cho với mỗi   thuộc   ta có   .
  • Nếu ta nghĩ tham số thứ hai của   như là "thời gian", khi đó   mô tả một biến đổi liên tục ánh xạ   thành ánh xạ  : tại thời điểm   ta có ánh xạ   và tại thời điểm   ta có ánh xạ  .
  • Đồng luân là một quan hệ tương đương trên tập các ánh xạ liên tục từ   vào  . Quan hệ đồng luân này tương thích với phép hợp thành của 2 ánh xạ theo nghĩa nếu   là đồng luân và   là đồng luân, khi đó hợp thành của chúng   :  là đồng luân

Ví dụSửa đổi

Ví dụ 1: Cho   là ánh xạ biến
 
Ta thấy   là tô pô mịn nhất sao cho   liên tục.
Ví dụ 2: Mặt phẳng đồng phôi với nửa mặt phẳng và đồng phôi với đĩa tròn
Ví dụ 3: Một biến đổi đồng luân

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ [1]
  2. ^ [2]
  3. ^ a ă [3]
  4. ^ [4]
  5. ^ Lecture notes on Topology, trang 14, HCMUS.
  6. ^ [5],
  7. ^ a ă â Introduction to topology pure and applied của Colin Adam và Robert Franzosa
  8. ^ The trivial toplogy

Liên kết ngoàiSửa đổi