Mở trình đơn chính
Tập compact

Trong toán học, không gian compact là một khái niệm rất quan trọng của tô pô. Tùy theo không gian ta xét là không gian mêtric hay không gian Euclide mà có những định nghĩa khác nhau so với không gian tô pô tổng quát.

Giới thiệuSửa đổi

Một ví dụ cơ bản về không gian compact là không gian con   của   với topo Euclide. Tức là nếu lấy tập vô hạn phần tử rời nhau trong   thì tập đó sẽ chứa ít nhất một điểm tụ. Ví dụ tập

 

thì   sẽ là một điểm tụ của  . Tổng quát hơn, định lý Heine-Borel cho ta   là không gian compact (không gian   là con của   với topo Euclide) khi và chỉ khi   đóng và bị chặn trong  . Vì vậy, những khoảng mở, nửa khoảng và   là không compact.

Như ta đã biết, có nhiều cách định nghĩa một không gian compact, ví dụ như compact tổng quát, compact dãy.... Các định nghĩa sẽ phụ thuộc vào cấp độ tổng quát của không gian topo. Ví dụ:

  • Không gian con của không gian Euclide là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn.
  • Trong không gian metric, khái niệm compact dãy trùng với khái niệm compact tổng quát.

Tuy nhiên, trong không gian topo tổng quát, khái niệm compact dãy sẽ không tương đương với khái niệm compact tổng quát. Nghĩa là không gian   được gọi là compact khi và chỉ khi với mọi phủ mở của  , ta có thể trích ra một phủ con hữu hạn. Khi đó, một tập đóng và bị chặn trong không gian Euclide là compact tổng quát được chứng minh qua định lý Heine-Borel.

Định nghĩaSửa đổi

Nếu   (nghĩa là X có hữu

hạn các tập bao hàm của nó).

Không gian con compactSửa đổi

Cho   là không gian con của không gian tô pô  . Cho   là một phủ mở của  . Với mỗi   là tập mở của  , thì ta có   mở trong   sao cho  . Vì vậy, ta có họ các tập mở   của   mà có hội chứa  . Nói cách khác, nếu có một họ   các tập mở trong   có hội chứa  , thì họ   là một phủ mở của  . Do đó,   là không gian compact con của   nếu cho họ   là họ các tập mở bất kì có phần hội chứa  , thì tồn tại    sao cho   có hội chứa  . Vì vậy, ta có thể định nghĩa không gian con   của   là compact qua hai cách: dùng họ phủ mở của   hoặc họ các tập mở trong   có hội chứa  .

Những ví dụSửa đổi

Topo tổng quátSửa đổi

  • Không gian topo   với   hữu hạn là không gian compact, vì nó chỉ có hữu hạn tập mở. Tổng quát hơn, nếu topo   có hữu hạn phần tử thì   là không gian compact (topo hiển nhiên là một ví dụ).
  • Không gian topo   với tô pô phần bù hữu hạn là không gian compact.

Giải tích và Đại sốSửa đổi

  • Khoảng đóng   dưới topo Euclide là compact, điều này được suy ra từ định lý Heine - Borel. Khoảng mở   thì không compact vì ta có họ phủ mở
 

là phủ   nhưng không trích ra được phủ con hữu hạn.

  •   với topo Euclide là không compact vì ta có họ phủ mở   phủ   nhưng không trích ra được phủ con hữu hạn. Ta cũng có thể kết luận điều này vì   đồng phôi với   với topo Euclide nhưng   không compact, dẫn đến   không compact.
  • Tập Cantor là compact dưới topo Euclide.
  • Cho   là tập hợp các hàm số   thỏa điều kiện Lipschitz: tồn tại   sao cho   thì
 .

Ta có   là không gian metric với metric định bởi

 

là không gian compact. Điều này được suy ra từ định lý Arzela-Ascoli.

Ý nghĩaSửa đổi

Ý nghĩa của khái niệm này: Để đưa những vấn đề mang tính địa phương về toàn cục, cần phải hữu hạn hóa quá trình vô hạn. Nói cách khác, mỗi sự kiện phụ thuộc ở phạm vi địa phương (xét trong lân cận tại mỗi điểm thuộc A), toàn bộ tập A được bao phủ bởi tất cả các lân cận ấy. Nếu chỉ cần một số hữu hạn các lân cận ấy đủ để bao phủ A thì ta có thể chọn được những đại lượng lớn nhất, bé nhất liên quan đến tính hữu hạn này.

Trong tiếng Anh, compact có nghĩa là "nén chặt, gọn gàng, tinh tế". Qua định nghĩa trên, ta thấy một tập compact khá gọn gàng: Tưởng chừng phải có vô hạn cái túi để đựng tập A nhưng thật ra chỉ cần hữu hạn cái là đủ.

Trước đây, một số nhà toán học Việt Nam đưa những thuật ngữ tiếng Việt để dịch khái niệm này như là "tập compact", "tập cơm nén" (quá thuần Việt) hay "tập áp súc" (từ Hán-Việt). Có lẽ không được hưởng ứng nhiều, ngày nay ta dùng luôn từ compact, đôi khi phiên âm thành "com-pắc".

Các định lýSửa đổi

Khá nhiều định lý gắn chặt với tính chất compact của tập như:

  • Ảnh liên tục của một không gian compact là compact.
  • Tập con đóng của không gian compact là compact.
  • Cho   là song ánh liên tục. Nếu   là compact và   là Hausdorff, thì  đồng phôi.
  • Không gian con compact của không gian Hausdorff là đóng.
  • Định lý giá trị cực trị: một hàm trị thực liên tục trên một không gian compact có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
  • Hội hữu hạn những tập compact là compact.
  • Định lý Tychonoff: tích của một họ các không gian compact là compact.

Đặc trưng của tính compactSửa đổi

Một không gian là compact nếu và chỉ nếu mỗi họ các tập đóng với tính chất giao hữu hạn có giao khác rỗng.

Không gian EuclideSửa đổi

Với tập con   của không gian Euclide  , những tính chất sau là tương đương:

1.   là compact.

2. Mỗi dãy trong   có dãy con hội tụ.

3.  đóng và bị chặn (định lý Heine-Borel).

Không gian metricSửa đổi

  • Cho phủ mở của không gian metric compact, thì có một số   sao cho quả cầu bán kinh   chứa trong một thành phần của phủ mở. (số Lebesgue)
  • Một không gian metric là compact nếu và chỉ nếu mỗi dãy có dãy con hội tụ.

Tham khảoSửa đổi

Tham khảoSửa đổi