Trong tô pô, định lý Tychonoff (định lý Tikhonov) được phát biểu là tích của một họ các không gian tôpô compact là một không gian compact.[1] Định lý này được đặt tên sau khi Andrey Nikolayevich Tychonoff chứng minh được nó năm 1930 cho những khoảng đóng đơn vị và năm 1935 chứng minh đầy đủ hơn cho các hợp đặc biệt. Chứng minh được công bố sớm nhất chứa trong kết quả bài báo của Eduard Čech.

Phát biểuSửa đổi

Tích của một họ bất kỳ các không gian compact thì compact trong tô pô tích đó.[1]

Chứng minh định lýSửa đổi

Cho   compact  . Chúng ta sẽ chứng minh:  compact thông qua đặc trưng tập đóng trong Định lý về đặc trưng qua tập đóng của tập compact.[2]

Cho   là một họ bất kỳ các tập con đóng của   có tính giao hữu hạn. Ta chứng minh   có phần giao khác rỗng, tức là  .

Xét họ   với   là tập con đóng của   có phần giao hữu hạn. Vì   compact nên có phần giao khác rỗng. Suy ra có  

Từ đó cho thấy   có phần giao khác rỗng, nhưng điều đó là không đúng như hình vẽ sau:

 
Phản ví dụ

Khi đó ý tưởng của Tikhonov là mở rộng họ  

 ,   là cực đại dưới tính giao hữu hạn. (Bổ đề Zorn)

Sẽ lặp lại lý luận trên với   thay vì  .

Xét họ  

là họ các tập con đóng của   có tính giao hữu hạn.

  compact nên tồn tại  

Cho   

Chứng minh  

tức là chứng minh  

Lấy một lân cận bất kỳ của   có dạng   với mở trong  

Do   nên   là điểm dính của   suy ra   chứa điểm của  .

Nên

  với mọi  
  với mọi  

Suy ra   vẫn có tính giao hữu hạn.

Do   là cực đại dưới tính giao hữu hạn nên  .

Suy ra

  với mọi  
  với mọi  

Suy ra  

Vậy   hay  . 

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ a ă “Tychonoff Theorem”. mathworld.wolfram.com. Truy cập ngày 30 tháng 5 năm 2013. 
  2. ^ Huỳnh, Quang Vũ (2012). “Lecture notes on topology”. Ho Chi Minh city University of Science. Truy cập ngày 30 tháng 5 năm 2013. 

Liên kết ngoàiSửa đổi