Phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất

Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết thứ tự, phần tử lớn nhất (cũng gọi là phần tử cực đại) của tập con của một tập hợp sắp thứ tự một phần là một phần tử của mà lớn hơn mọi phần tử khác trong . Phần tử nhỏ nhất (cũng gọi là phần tử cực tiểu) của là một phần tử nhỏ hơn mọi phần tử khác của S.[1]

Tập tin:Mạng các ước số của 60, với tập con là phần màu đỏ.png
Biểu đồ Hasse của tập hợp P gồm các ước số của 60, với quan hệ thứ tự riêng phần "y chia hết cho x". Phần màu đỏ là tập con S = {1,2,3,4} có hai phần tử tối đại là 3 và 4, và một phần tử tối tiểu là 1, cũng là phần tử nhỏ nhất của nó.

g là một phần tử lớn nhất của S nếu

sg, với mọi s thuộc S.

Tương tự, g là một phần tử nhỏ nhất của S nếu

, với mọi s thuộc S.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhấtSửa đổi

Xét   là một hàm số. Ta trang bị cho   thứ tự cảm sinh từ thứ tự trên  . Thế thì phần tử lớn nhất của   được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số   và phần tử nhỏ nhất của   được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số   nếu chúng tồn tại.

Ví dụSửa đổi

Hàm số   có giá trị nhỏ nhất bằng   và không có giá trị lớn nhất. Hàm số   có giá trị lớn nhất bằng   và không có giá trị nhỏ nhất. Các hàm số   đều không có cả giá trị lớn nhất lẫn giá trị nhỏ nhất. Lưu ý rằng hàm   là một hàm bị chặn dưới. (Trong tất cả các ví dụ trên, tập xác định  ).

Phần tử tối đại và phần tử tối tiểuSửa đổi

Nhìn chung, một phần tử lớn nhất, nếu tồn tại, thì là một phần tử tối đại, và nó là phần tử tối đại duy nhất, nhưng điều ngược lại không đúng: một tập hợp có thể có nhiều phần tử tối đại mà không có phần tử lớn nhất.

Tương tự, một phần tử nhỏ nhất, nếu tồn tại, thì là phần tử tối tiểu duy nhất.

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 27, Định nghĩa 8

Thư mụcSửa đổi