Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Không gian mêtric”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
n General Fixes |
n General Fixes |
||
Dòng 11:
#''d''(''x'', ''z'') ≤ ''d''(''x'', ''y'') + ''d''(''y'', ''z''), với mọi ''x'',''y'',''z'' <math>\in</math> ''E'' (''bất đẳng thức tam giác'')
Khi đó ''d'' được gọi là ''khoảng cách'' hay một ''metric'' trên ''E'' và cặp ''(E,d)'' được gọi là một ''không gian mêtric''. Không gian metric ''(E,d)'' thường được viết là ''E'' với ''d'' được hiểu ngầm khi không bị nhầm lẫn.<ref>T. W. K¨orner (
====Một số metric thông dụng trong không gian R<sup>n</sup>====
Dòng 32:
===Quả cầu mở, quả cầu đóng===
Cho <math> a \in X</math> và ''r>0'', theo định nghĩa <ref>Colin Adams, Robert Franzosa (
* <math>B_{d}(a,r) = \{ x \in X: d(a,x) < r \}</math> là quả cầu mở tâm a, bán kính r trong không gian metric ''(X,d)''.
* <math>B'_{d}(a,r) = \{ x \in X: d(a,x) \leq r \}</math> là quả cầu đóng tâm a, bán kính r trong không gian metric ''(X,d)''.
Dòng 60:
===Topo sinh bởi metric===
====Định lý ====
Cho ''(X,d)'' là không gian metric, họ các quả cầu mở <math>\mathfrak{B} = \{B_d(a,r): a \in X, r>0 \}</math> là [[Cơ sở (đại số tuyến tính)|cơ sở]] của topo trên X.<ref>Colin Adams, Robert Franzosa (
'''''Chứng minh:'''''
Dòng 101:
===Trong lý thuyết thông tin: sự sai lệch các đoạn mã và ký tự===
Với lượng thông tin khổng lồ được truyền qua điện thoại, Internet hay từ vệ tinh ngoài không gian đến Trái Đất,... Điều này cực kỳ quan trọng nếu đảm bảo sự nguyên vẹn của thông tin khi nhận được.<ref>Colin Adams, Robert Franzosa (
====Khoảng cách Hamming====
Dòng 164:
Cho <math>\left(X,d\right)</math> là không gian metric, một tập con <math>A\subset X</math> gọi là chặn theo ''d'' nếu tồn tại <math>\mu>0</math> sao cho <math>d\left(x,y\right)< \mu </math>;<math>\forall</math> <math>x,y\in A</math>.
Nếu bản thân ''X'' bị chặn theo ''d'' thì nói ''d'' là metric bị chặn.<ref>Colin Adams, Robert Franzosa (
====Định nghĩa ====
Dòng 170:
Nếu <math>f:\, X\rightarrow Y</math> là một isometry thì có thể nói các không gian metric ''X,Y'' là đẳng cự (isometric)
<ref>Colin Adams, Robert Franzosa (
====Định nghĩa ====
Cho <math>\left(X,d\right) </math> là không gian topo, ''X'' là [[không gian mêtric hóa được]] (metrizable) nếu tồn tại một metric ''d'' trên ''X'' mà nó sinh ra topo trên ''X'' <ref>Colin Adams, Robert Franzosa (
'''Ví dụ: '''
Dòng 188:
=== Các định lý ===
==== Định lý ====
:Mọi không gian metric đều tách được theo ''(T.4)''<ref>Colin Adams, Robert Franzosa (
==== Định lý ====
:Cho <math> \left(X,d_{X}\right) </math> và <math> \left(X,d_{Y}\right) </math> là các không gian metric.
:<math> f:X\rightarrow Y </math> là liên tục nếu và chỉ nếu với mỗi <math>x\in X,\epsilon>0 </math> có <math>\delta>0 </math> sao cho
::nếu <math> x'\in X </math> và <math> d_{X}\left(x,x'\right)<\delta </math> thì <math> d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x'\right)\right)<\epsilon </math>.<ref>Colin Adams, Robert Franzosa (
:Ngoài ra, định nghĩa sự liên tục của hàm <math>f</math> theo định nghĩa tập mở:
Dòng 216:
====Định lý 3.2.4====
Nếu <math>\left(X,d\right)</math> là không gian topo metric hóa và ''Y'' đồng phôi với ''X'' thì ''Y'' cũng metric hóa được.
<ref>Colin Adams, Robert Franzosa (
====Định lý 3.2.5====
Dòng 223:
Cho <math>(X,d)</math> là không gian metric, ta nói <math>X</math> compact nếu và chỉ nếu mọi dãy <math> \left(x_n \right) \in X</math> đều có dãy con <math>\left(x_{n_{m}} \right)</math> của <math>x_n</math> hội tụ trong <math>X</math>.
<ref>Colin Adams, Robert Franzosa (
Hơn nữa, nếu <math>A \subset \mathbb{R}^n</math> là tập con compact trong <math>\mathbb{R}^n</math> với <math>\left(\mathbb{R}^n,d \right)</math> là không gian metric Euclide với topo Euclide thì <math>A</math> đóng và bị chặn.<ref>Colin Adams, Robert Franzosa (
==Chú thích==
Dòng 232:
==Tham khảo==
* Huỳnh Quang Vũ (2012). ''Lecture notes on Topology''. Ho Chi Minh city University of Science.
* Colin Adams, Robert Franzosa (
* Victor Bryant, ''Metric Spaces: Iteration and Application'', [[Cambridge University Press]], 1985, ISBN 0-521-31897-1.
* Dmitri Burago, [[Yuri Dmitrievich Burago|Yu D Burago]], Sergei Ivanov, ''A Course in Metric Geometry'', American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2129-6.
| |||