Nhóm lũy linh

Nhóm lũy linh cùng với nhóm giải được là các cấu trúc cơ bản của đại số trừu tượng.

Định nghĩa

Chuỗi tâm trên

Tồn tại một nhóm $G$ là lũy linh nếu nó có các chuỗi tâm trên ổn định sau khi hữu hạn toàn bộ nhóm (tức là tồn tại một số tự nhiên $c$ sao cho $Z^{c}(G)=G$ . Sau đây chúng ta định nghĩa $Z_{i}(G)$ bằng phuơng pháp quy nạp:

Tâm $Z^{i}(G)$ là tạo ảnh của tâm $Z(G/Z^{i-1}(G))$ dưới các ánh xạ thương từ $G$ đến $G/Z^{i-1}(G)$ và $Z^{0}(G)$ là nhóm con tầm thường của $G$ .

Chuỗi tâm dưới

$G$ là lũy linh nếu tồn tại mộy số tự nhiên $c$ sao cho $[[[..[G,G],G],G],...G]$ là tầm thường với $G$ được nhắc lại $c+1$ lần. $[,]$ là commutator (không dịch được) của các tập con của $G$ .

Chuỗi tâm

$G$ là lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên $c$ và một dãy con hữu hạn:

$G=H_{1}\geq H_{2}\geq ...\geq H_{c+1}=\left\{e\right\}$ và mỗi $H_{i}$ là một nhóm con bình thường của $G$ và $H_{i}/H_{i+1}$ là tâm của $G/H_{i+1}$ .

Nhóm con chéo bình thường của tích Descartes của nhóm (tạm dịch)

Tập $\left\{(g,g):g\in G\right\}$ là nhóm con của tích Descartes $G\times G$ với mọi $c\in \mathbb {N}$ .

Tích lặp commutator chuẩn-trái tầm thường (tạm dịch)

Tồn tại độ dài subnormal (không dịch được) $c\in \mathbb {N}$ sao cho $[[...[[x_{1},x_{2}],x_{3}],...],x_{c+1}]$ nhận giá trị của phần tử đơn vị với mọi $x_{i}\in G$ .

Tích lặp commutator chuẩn-"bất kỳ hướng" tầm thường (tạm dịch)

Tồn tại số $c$ như trên sao cho mọi tích lặp commutator bao gồm $c$ phép toán commutator.

Trong trường hợp $c=3$ , biểu thức

$[[x_{1},x_{2}],[x_{3},x_{4}]],[[[x_{1},x_{2}],x_{3}],x_{4}]],[x_{1},[x_{2},[x_{3},x_{4}]]]$ ,

$[[x_{1},[x_{2},x_{3}]],x_{4}],[x_{1},[[x_{2},x_{3}],x_{4}]$ đều nhận giá trị của phần tử đơn vị.

Tích lặp commutator chuẩn-trái tầm thường tổng quát

Giống tích lặp commutator chuẩn-trái tầm thường.

Ví dụ

• Nhóm tầm thường là lũy linh trên lớp lũy linh cấp $0$ .
• Mọi nhóm Abel là lũy linh trên lớp lũy linh cấp $1$ .
• Nhóm D8 là lũy linh nhưng không Abel.
• Nhóm quaternion lũy linh nhưng không Abel.

Tính chất

• Giả tốt.
• Nếu $G$ lũy linh, nhóm con $H$ cũng lũy linh.
• Nếu $G$ lũy linh và có nhóm con bình thường $H$ thì nhóm thương $G/H$ cũng lũy linh.
• Nếu $G_{i},i=1,2,...,n$ lũy linh, tích Descartes $\Pi _{i=1}^{n}G_{i}$ cũng lũy linh.
• Nếu $G$ lũy linh và tồn tại các nhóm con bình thường $N_{1},N_{2},...,N_{n}$ thì tích trong của chúng cũng lũy linh.
• Nếu $G_{1},G_{2}$ là nhóm isoclinic và $G_{1}$ lũy linh, nhóm $G_{2}$ cũng lũy linh.

Một số tính chất khác

Bạn có thể đọc thêm tại [1].

Nguồn

[2]