Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Phương sai”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
n Đã lùi lại sửa đổi của 27.78.47.46 (Thảo luận) quay về phiên bản cuối của TuanminhBot |
|||
Dòng 53:
:<math>s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N
\left(x_i - \overline{x} \right)^ 2,</math>
=== Chứng minh 1 ===
Phần sau đây chứng minh <math>s^2</math> là một ước lượng không chệch của phương sai quần thể. Một ước lượng <math>\hat{\theta}</math> của tham số <math>\theta</math> được gọi là ước lượng không chệch nếu <math>\operatorname{E}\{ \hat{\theta}\} = \theta</math>.
Ký hiệu <math>\mu</math> và <math>\sigma^2</math> lần lượt là trung bình và phương sai của quần thể. Để chứng minh <math>s^2</math> là ước lượng không chệch, ta sẽ chứng minh rằng <math>\operatorname{E}\{ s^2\} = \sigma^2</math>. Ta có:
:<math> \operatorname{E} \{ s^2 \}
= \operatorname{E} \left\{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(x_i - \overline{x} \right) ^ 2 \right\}
</math>
:<math>
= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \operatorname{E} \left\{ \left(x_i - \overline{x} \right) ^ 2 \right\}
</math>
:<math>
= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \operatorname{E} \left\{ \left((x_i - \mu) - (\overline{x} - \mu) \right) ^ 2 \right\}
</math>
:<math>
= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left\{ \operatorname{E} \left\{ (x_i - \mu)^2 \right\}
- 2 \operatorname{E} \left\{ (x_i - \mu) (\overline{x} - \mu) \right\}
+ \operatorname{E} \left\{ (\overline{x} - \mu) ^ 2 \right\} \right\}
</math>
:<math>
= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left\{ \sigma^2
- 2 \left(\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \operatorname{E} \left\{ (x_i - \mu) (x_j - \mu) \right\} \right)
+ \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \operatorname{E} \left\{ (x_j - \mu) (x_k - \mu) \right\} \right\}
</math>
:<math>
= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left\{ \sigma^2
- \frac{2 \sigma^2}{n}
+ \frac{\sigma^2}{n} \right\}
</math>
:<math>
= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \frac{(n-1)\sigma^2}{n}
</math>
:<math>
= \frac{(n-1)\sigma^2}{n-1} = \sigma^2
</math>
=== Chứng minh 2 ===
| |||