Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Giá trị kỳ vọng”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
n robot Thêm: xal:Күләлһнә Берк |
n robot Thay: el:Αναμενόμενη τιμή; sửa cách trình bày |
||
Dòng 1:
Trong [[Lý thuyết xác suất]] (và đặc biệt là [[đánh bạc]]), '''giá trị kỳ vọng''', '''giá trị mong đợi''' (hoặc '''kỳ vọng toán học''') của một [[biến ngẫu nhiên]] là tổng xác suất của mỗi kết quả có thể của thử nghiệm nhân với giá trị của kết quả đó. Như vậy, nó biểu diễn giá trị trung bình mà người ta "mong đợi" thắng cược nếu đặt cược liên tục nhiều lần với khả năng thắng cược là như nhau. Lưu ý rằng bản thân giá trị đó có thể không được mong đợi theo nghĩa thông thường; nó có thể ít có khả năng xảy ra
Ví dụ, một vòng quay [[roulette]] có 38 kết quả có thể có khả năng như nhau. Mỗi đặt cược vào một số duy nhất thắng 35-1 ( nghĩa là ta được trả 35 lần số tiền đặt cược và được nhận lại tiền đặt cược, vậy ta nhận được 36 lần tiền cược). Do đó, xét cả 38 kết quả có thể, giá trị kỳ vọng của khoản lợi thu được từ 1 đôla đặt cược cho một số duy nhất là:
Dòng 25:
:<math>\mathrm{E}(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, \mathrm d x.</math>
Định nghĩa của trường hợp rời rạc trực tiếp suy ra rằng nếu <math>X</math> là một [[hằng biến ngẫu nhiên]] (''constant random variable''), nghĩa là <math>X = b</math> với một <math>b</math> là một [[số thực]] không đổi nào đó, thì giá trị kỳ vọng của
Giá trị kỳ vọng của một hàm ''g(x)'' tùy ý của ''x'', với hàm mật độ xác suất ''f(x)'' có công thức
Dòng 31:
:<math>\mathrm{E}(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty g(x) f(x)\, \mathrm d x.</math>
== Các tính chất ==
=== Tuyến tính ===
Phép toán giá trị kỳ vọng (hay '''phép toán kỳ vọng''') <math>\mathrm{E}</math> là [[phép toán tuyến tính]] theo nghĩa sau
Dòng 39:
với hai biến ngẫu nhiên <math>X</math> và <math>Y</math> bất kỳ (được định nghĩa trên cùng một không gian xác suất) và hai số thực bất kỳ <math>a</math> và <math>b</math>.
=== Kỳ vọng lặp ===
Với hai biến ngẫu nhiên bất kỳ <math>X,Y</math>, ta có thể định nghĩa [[kỳ vọng có điều kiện]] (''conditional expectation''):
Dòng 62:
Vế phải của đẳng thức được gọi là [[kỳ vọng lặp]]. Mệnh đề này được nói đến trong [[quy tắc kỳ vọng toàn thể]] (''[[law of total expectation]]'')
=== Bất đẳng thức ===
Nếu một biến ngẫu nhiên X luôn nhỏ hơn hay bằng một biến ngẫu nhiên Y khác, kỳ vọng của X cũng nhỏ hơn hay bằng kỳ vọng của Y:
Dòng 71:
:<math>|\mathrm{E}[X]| \leq \mathrm{E}[|X|]</math>
=== Biểu diễn ===
Công thức sau đúng với mọi biến ngẫu nhiên giá trị thực không âm <math> X </math> (sao cho <math> \mathrm{E}[X] < \infty </math>), và số thực <math> \alpha </math> lớn hơn 0:
:<math> \mathrm{E}[X^\alpha] = \alpha \int_{0}^{\infty} t^{\alpha -1}\mathrm{P}(X>t) \mathrm d t.</math>
=== Không có tính nhân ===
Nói chung, phép toán giá trị kỳ vọng không có tính nhân, nghĩa là <math>\mathrm{E}(X Y)</math> không nhất thiết bằng <math>\mathrm{E}(X) \mathrm{E}(Y)</math>, ngoại trừ nếu <math>X</math> và <math>Y</math> là [[độc lập thống kê|độc lập]] hoặc [[không tương quan]] (''uncorrelated'').
Sự không có tính nhân này dẫn đến nghiên cứu về [[hiệp phương sai]] (''covariance'') và [[sự tương quan]] (''correlation'').
=== Không bất biến về hàm ===
Nói chung, phép toán kỳ vọng và [[hàm số|hàm]] của các biến ngẫu nhiên không có tính [[phép hoán vị|hoán vị]]; nghĩa là
Dòng 87:
trừ trường hợp được ghi chú như ở trên.
== Ứng dụng của giá trị kỳ vọng ==
Các giá trị kỳ vọng của các lũy thừa của <math>X</math> được gọi là [[mômen]] (''moment'') của <math>X</math>; [[mômen quanh trung bình]] (''moment about the mean'') của <math>X</math> là các giá trị kỳ vọng của các lũy thừa của <math>X - \mathrm{E}(X)</math>. Mômen của một số biến ngẫu nhiên có thể được sử dụng để xác định phân bố của chúng, bằng các [[hàm sinh mômen]] (''moment generating function'') của chúng.
Để ước lượng bằng thực nghiệm giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên, người ta liên tục thực hiện các quan sát về biến đó và tính [[trung bình cộng]] của các kết quả. Quy trình này ước lượng giá trị kỳ vọng thực sự bằng một cách [[độ chênh (thống kê)|không thiên lệch]] và có tính chất cực tiểu hóa tổng bình phương của các [[sai số và thặng dư trong thống kê|thặng dư]] (tổng bình phương của các hiệu giữa các quan sát và ước lượng). [[Luật số lớn]] chứng minh rằng (trong điều kiện ôn hòa) khi kích thước của [[mẫu thống kê]] lớn lên thì [[phương sai]] của ước lượng này sẽ nhỏ đi.
Trong [[Cơ học cổ điển]], [[tâm khối]] (''center of mass'') là khái niệm tương đương với giá trị kỳ vọng. Ví dụ, giả sử <math>X</math> là một biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị <math>x_i</math> và các xác suất tương ứng <math>p_i</math>. Xét một thanh ngang có trọng lượng không đáng kể, trên đó đặt các quả cân, tại các vị trí <math>x_i</math> là các khối lượng <math>p_i</math> (với tổng bằng 1). Điểm mà tại đó thanh ngang được thăng bằng ([[trọng tâm]] của nó) là <math>\mathrm{E}(X)</math>.
== Kỳ vọng của ma trận ==
Nếu <math>X</math> là một [[ma trận]] <math>m \times n</math>, giá trị kỳ vọng của <math>X</math> là một ma trận của các giá trị kỳ vọng:
Dòng 116:
</math>
Tính chất này được dùng trong các [[ma trận
== Xem thêm ==
* [[Kỳ vọng có điều kiện]] (''Conditional expectation'')
* [[Bất đẳng thức về các tham số vị trí và tỉ lệ]]. (''An inequality on location and scale parameters'')
* [[Số kỳ vọng]] (''Expected number'')
* Giá trị kỳ vọng còn là một khái niệm quan trọng trong [[Kinh tế]] và [[Thương mại]].
* Từ [[kỳ vọng]] với nghĩa thông thường.
== Liên kết ngoài ==
* {{planetmath reference|id=505|title=Expectation}}
[[Thể loại:Lí thuyết xác suất]]
Dòng 135:
[[cs:Střední hodnota]]
[[de:Erwartungswert]]
[[el:
[[en:Expected value]]
[[es:Esperanza matemática]]
| |||