Wikipedia

Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân”

Duyệt lịch sử tương tác
← Thay đổi trướcThay đổi sau →
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Trực quanMã wiki
Không có tóm lược sửa đổi
Dòng 91:
'''Quy nạp:''' Xét''n'' + 1 số thực không âm. Ta có
:<math> (n+1)\mu=\ x_1 + \cdots + x_n + x_{n+1}.\,</math>
Nếu tất cả các số đều bằng ''μ'', thì ta có đẳng thức và coi như xong. Ngược lại ta sẽ tìm được ít nhất một số nhỏ hơn ''μ'' và một số lớn hơn ''μ'', không mất tính tổng quát, xem rằng ''x<sub>n</sub>''&nbsp;>&nbsp;''μ'' và ''x''<sub>''n''+1</sub>&nbsp;<&nbsp;''μ''. ThenTa có
 
:<math>(x_n-\mu)(\mu-x_{n+1})>0\,.\qquad(*)</math>
 
Now consider theXét ''n'' numberssố sau
:<math>x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n'</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;withvới&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>x_n':=x_n+x_{n+1}-\mu\ge x_n-\mu>0\,,</math>
 
cũng là số không âm. Từ đó
which are also non-negative. Since
 
:<math>n\mu=x_1 + \cdots + x_{n-1} + \underbrace{x_n+x_{n+1}-\mu}_{=\,x_n'},</math>
 
''μ'' iscũng alsolà thetrung arithmeticbình meancộng ofcủa <math>x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n'</math> andvà thetheo inductiongiả hypothesisthuyết impliesquy nạp ta có
 
:<math>\mu^{n+1}=\mu^n\cdot\mu\ge x_1x_2 \cdots x_{n-1} x_n'\mu.\qquad(**)</math>
 
DueMặt tokhác từ (*) we knowta thatcó
 
:<math>(\underbrace{x_n+x_{n+1}-\mu}_{=\,x_n'})\mu-x_nx_{n+1}=(x_n-\mu)(\mu-x_{n+1})>0,</math>
 
hay là
hence
 
:<math>x_n'\mu>x_nx_{n+1}\,,\qquad({*}{*}{*})</math>
 
inhiển particularnhiên ''μ''&nbsp;>&nbsp;0. Therefore, if atNếu leastcó oneít ofnhất themột numberstrong ''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''&minus;1</sub> isbằng zerokhông, thenta wedễ alreadythấy havebất strictđẳng inequalitythức inđúng (**).và Otherwisedấu thebằng right-handkhông sidexãy ofra. (**)Ngược is positive and strict inequality is obtained by using thelại, estimatetừ (***). Therefore, substitutingvà (***) into (**) gives in bothta casescó
 
:<math>\mu^{n+1}>x_1x_2 \cdots x_{n-1} x_nx_{n+1}\,,</math>
 
bất đẳng thức được chứng minh.
which completes the proof.
 
==Chứng mình của Pólya==
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/wiki/Bất_đẳng_thức_trung_bình_cộng_và_trung_bình_nhân”