Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Không gian Euclid”

Một mặt ta hình dung mặt phẳng Euclide là một [[tập hợp]] các [[điểm(hình học)|điểm]] quan hệ với nhau một cách vững chắc thông qua các biểu thức giữa các khoảng cách và các góc. CHẳng hạn có hai có hai phép biến đổi quan trọng trên mặt phẳng. Một là [[phép tịnh tiến]], nghĩa là phép di chuyển các điểm của mặt phẳng theo cùng một hướng và một khoảng cách như nhau. Phép biến đổi kia là [[phép quay]] quanh một điểm cố định trên mặt phẳng , trong đó mọi điểm trên mặt phẳng quay theo một điểm cố định các góc như nau. Một trong các tư tưởng chính của hình học Euclide là hai hình (nghĩa là các [[tập con]]) của mặt phẳng được xem là bằng nhau nếu có thể di chuyển hình này vào trong hình kia nhờ một số phép tịnh tiến, phép quay và ngược lại. (Xem [[Nhóm Euclide]].)

Mặt khác, cần tiến hành các khảo sát tỷ mỉ về toán học, định nghĩa rõ ràng các khái niệm khoảng cách, góc, phép tịnh tiến, phép quay. Con đường chuẩn tắc để làm việc này là phương pháp tiên đề, đó là định nghiãnghĩa mặt phẳng Euclide như một [[không gian vectơ| không gian vectơ thực]] hai chiều với [[tích vô hướngt]]. Khi đó:

Giả sử '''R''' là ký hiệu của [[trường(toán học)|trường]] các [[số thực]]. Với mỗi số nguyên không âm ''n'', không gian cảucủa các bộ ''n'' số thực tạo thành một [[không gian vectơ]] ''n'' chiều trên '''R''', ký hiệu là '''R'''^''n'' và thường được gọi là '''không gian các tọa độ thực'''. Một phần tử của '''R'''^''n'' được viết là