Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Quá trình Poisson”

trong đó số &lambda;λ dương là một tham số cố định, được gọi là tham số tỉ lệ (''rate parameter''). Có nghĩa là, biến ngẫu nhiên <math>N(t+ \tau) - N(t)</math> mô tả số lần xuất hiện trong khoảng thời gian <math>[t,t+ \tau]</math> tuân theo một [[phân bố Poisson]] với tham số <math>\lambda\tau</math>.

== Các ví dụ ==

* Số cuộc điện thoại tới tổng đài trong một khoảng thời gian xác định có thể có một phân bố Poisson, và số cuộc điện thoại tới trong các khoảng thời gian không giao nhau có thể [[độc lập thống kê]] với nhau. Đây là một quá trình Poisson một chiều. Trong các mô hình đơn giản, ta có thể giả thiết một tỉ lệ trung bình là hằng số, ví dụ &lambda;λ = 12,3 cuộc gọi mỗi phút. Trong trường hợp đó, [[giá trị kỳ vọng]] của số cuộc gọi trong một khoảng thời gian bất kỳ là tỉ lệ nhân với khoảng thời gian, &lambda;λ''t''. Trong các bài toán thực tế hơn và phức tạp hơn, người ta sử dụng một hàm tỉ lệ không phải là hằng số: &lambda;λ(''t''). Khi đó, giá trị kỳ vọng của số cuộc điện thoại trong khoảng giữa thời điểm ''a'' và thời điểm ''b'' là

== Các quá trình Poisson một chiều ==

Một quá trình Poisson một chiều trên khoảng từ 0 đến &infin;∞ (nghĩa là khi đồng hồ bắt đầu từ thời điểm 0 và là khi ta bắng đầu đếm) có thể được xem là một hàm ngẫu nhiên không giảm với giá trị [[nguyên (toán học)|nguyên]] ''N''(''t''), hàm này đếm số lần "xuất hiện" trước thời điểm ''t''. Cũng như mỗi biến ngẫu nhiên Poisson được đặc trưng bởi một tham số vô hướng (''scalar parameter'') &lambda;λ, mỗi quá trình Poisson được đặc trưng bởi một hàm tỉ lệ &lambda;λ(''t''), đó là [[giá trị kỳ vọng|kỳ vọng]] của số "lần xuất hiện" hay "biến cố" xảy ra trong mỗi đơn vị thời gian. Nếu tỉ lệ đó là hằng số, thì số ''N''(''t'') biến cố xảy ra trước thời điểm ''t'' có một [[phân bố Poisson]] với giá trị kỳ vọng &lambda;λ''t''.

Cho ''X''_''t'' là số lần xuất hiện trước thời điểm ''t'', ''T''_''x'' là thời điểm của lần xuất hiện thứ ''x'', với ''x'' = 1, 2, 3, ... . (Ta dùng ký hiệu ''X'' lớn và ''T'' lớn cho các biến ngẫu nhiên, và ''x'' nhỏ và ''t'' nhỏ cho các giá trị không ngẫu nhiên.) Biến ngẫu nhiên ''X''_''t'' có một [[phân bố xác suất]] ''rời rạc'' -- một phân bố Poisson -- và biến ngẫu nhiên ''T''_''x'' có một phân bố xác suất ''liên tục''.

Rõ ràng, số lần xuất hiện trước thời điểm ''t'' nhỏ hơn ''x'' khi và chỉ khi thời gian đợi cho đến lần xuất hiện thứ ''x'' lớn hơn ''t''. Bằng ký hiệu, biến cố [ ''X''_''t'' < ''x'' ] xảy ra khi và chỉ khi biến cố [ ''T''_''x'' > ''t'' ]. Vậy, xác suất của các biến cố này là bằng nhau:

Thực tế này cộng với kiến thức về phân bố Poisson cho phép ta tìm phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên liên tục này. Trong trường hợp tỷ lệ, nghĩa là kỳ vọng của số lần xuất hiện trong mỗi đơn vị thời gian, là hằng số, công việc này khá đơn giản. Cụ thể, xét thời gian đợi cho tới lần xuất hiện thứ nhất. Dễ thấy, thời gian đó lớn hơn ''t'' khi và chỉ khi số lần xuất hiện trước thời điểm ''t'' là bằng 0. Nếu tỷ lệ là &lambda;λ lần xuất hiện trong mỗi đơn vị thời gian, ta có

Do đó, thời gian đợi cho đến lần xuất hiện đầu tiên tuân theo một [[phân phối mũ]]. Phân phối mũ này có giá trị kỳ vọng 1/&lambda;λ. Nói cách khác, nếu tỷ lệ bình quân của các lần xuất hiện là 6 lần mỗi phút chẳng hạn, thì thời gian đợi trung bình tới khi có lần xuất hiện đầu tiên là 1/6 phút. Phân phối mũ [[không có khả năng nhớ]], nghĩa là ta có:

Công thức trên có nghĩa là [[xác suất có điều kiện]] cho việc "ta phải đợi lần xuất hiện đầu tiên thêm nhiều hơn, chẳng hạn, 10 giây nữa, biết rằng ta đã đợi 30 giây rồi mà chưa được" không khác với xác suất của việc "ta vừa mới bắt đầu đợi và ta phải đợi thêm ít nhất 10 giây nữa". Sinh viên học môn xác suất thường gặp phải nhầm lẫn đó. Thực tế rằng P(''T''₁ > 40 | ''T''₁ > 30) = P(''T''₁ > 10) không có nghĩa rằng các biến cố ''T''₁ > 40 và ''T''₁ > 30 là độc lập. Tóm lại, tính chất không bộ nhớ của phân bố xác suất của thời gian chờ đợi T cho đến lần xuất hiện tiếp theo có nghĩa là

== Xem thêm ==

[[ru:ПуассоновскийПуассона процесс]]