Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Không gian Euclid”

 

Trong ngôn ngữ của toán học hiện đại, khoảng cách và góc đã được tổng quát cho các không gián 4 chiều, 5 chiều và nhiều chiều hơn. Một không gian ''n''-chiều với các khái niệm về khoảng cách và góc thỏa mãn các quan hệ Euclide được gọi là '''không gian Euclide''' ''n'' chiều.

Một tính chất quan trọng của không gian Euclide là "tính phẳng". Trong hình học còn có các không gian khác được gọi là không gian phi Euclide. Chẳng hạn, mạt cầu là không gian phi Euclide; một tam giác trên mặt cầu có tổng các góc trong là lớn hơn 180 độ. Trên thực tế, chỉ có một không gian Euclide ứng với một số chiều, trong khi có thể có nhiều không gian phi Euclide có cùng số chiều. Thông thường các không gian này được xây dựng bằng cáh là biến dạng khoong gian Euclide.

 

Một mặt ta hình dung mặt phẳng Euclide là một [[tập hợp]] các [[điểm(hình học)|điểm]] quan hệ với nhau một cách vững chắc thông qua các biểu thức giữa các khoảng cách và các góc. Chẳng hạn có hai có hai phép biến đổi quan trọng trên mặt phẳng. Một là [[phép tịnh tiến]], nghĩa là phép di chuyển các điểm của mặt phẳng theo cùng một hướng và một khoảng cách như nhau. Phép biến đổi kia là [[phép quay]] quanh một điểm cố định trên mặt phẳng, trong đó mọi điểm trên mặt phẳng quay theo một điểm cố định các góc như nau. Một trong các tư tưởng chính của hình học Euclide là hai hình (nghĩa là các [[tập con]]) của mặt phẳng được xem là bằng nhau nếu có thể di chuyển hình này vào trong hình kia nhờ một số phép tịnh tiến, phép quay và ngược lại. (Xem [[Nhóm Euclide]].)

 

Xây dựng mặt phẳng Euclide theo cách này có thể dễ dàng mở rộng cho không gian với số chiều tùy ý. Phần lớn các thuật ngữ, công thức và tính toán sẽ không gặp khó khăn gì với số chiều nhiều hơn. (Tuy nhiên, có thể gặp khó khăn đôi chút đối với phép quay trong không gian với số chiều nhiều hơn.)

 

Giả sử '''R''' là ký hiệu của [[trường(toán học)|trường]] các [[số thực]]. Với mỗi số nguyên không âm ''n'', không gian của các bộ ''n'' số thực tạo thành một [[không gian vectơ]] ''n'' chiều trên '''R''', ký hiệu là '''R'''^''n'' và thường được gọi là '''không gian các tọa độ thực'''. Một phần tử của '''R'''^''n'' được viết là

 

'''R'''^''n'' là một ví dụ điển hình của không gian vectơ thực ''n''-chiều; mọi không giạn vectơ thực ''n''-chiều ''V'' là [[đẳng cấu]] với '''R'''^''n''.

 

Không gian Euclide cần nhiều thứ hơn không gian với tọa độ thực. Để áp dụng hình học Euclide cần có khái niệm khoảng cách giữa hai điểm và góc giữa hai đường hoặc hai vectơ. Một cách tự nhiên ta sử dụng tích vô hướng chính tắc (còn được gọi là ''tích chấm'' trên '''R'''^''n''. Tích vô hướng của hai vectơ '''x''' và '''y''' được định nghĩa bởi

 

:<math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.</math>

 

 

:<math>\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\mathbf{x}\cdot\mathbf{x}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2}.</math>

'''Góc (không có hướng)''' θ (0° ≤ ''θ'' ≤ 180°) giữa '''x''' và '''y''' được cho bởi

:<math>\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|}\right)</math>

 

Cuối cùng, có thể dùng chuẩn để định nghĩa một [[metric (toán học)|metric]] (hay hàm khoảng cách) trên '''R'''^''n'' bằng

Theo ngôn ngữ [[ma trận]], phép quay là một [[ma trận trực giao]].

 

Vì không gian Euclide là một [[không gian metric]] nó cũng là một [[không gian tôpô]] với [[tôpô]] tự nhiên sinh bởi metric. Tôpô trên '''E'''^''n'' được gọi là '''tô pô Euclide'''. Một tập là [[tập mở]] trong tôpô Euclide [[nếu và chỉ nếu]] nó chứa một hình cầu mở bao quanh mỗi điểm của nó. Tôpô Euclide tương đương với một [[tôpô tích]] trên '''R'''^''n'' như là tích của ''n'' bản sao của [[đường thẳng thực]] '''R''' (với tôpô chính tắc).

 

 

 

 

[[Thể loại:Hình học Euclid]]

[[ca:Espai euclidià]]

[[cv:Евклид уçлăхĕ]]

[[da:Euklidisk rum]]

[[de:Euklidischer Raum]]