Khác biệt giữa các bản “Không gian vectơ”

n (→‎Ví dụ: replaced: ) → ) using AWB)
<ref>{{chú thích web|last1=vector space|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space|website=wikipedia}}</ref>''Không nên nhầm lẫn với [[trường vector]]''[[Tập tin:Vector space illust.svg|phải|nhỏ|Không gian vectơ là một tập các đối tượng có định hướng (được gọi là các vectơ) có thể co giãn và cộng.]]
{{Cấu trúc đại số}}
Trong [[toán học]], '''không gian vectơ''' ( hay còn gọi là không gian tuyến tính ) là một tập hợp của trêncác đóđại hailượng [[phépgọi là toán]]vector, [[phépmột cộngđại vectơ]]lượng [[phépthể nhâncộng vectơ]] vớinhân bởi một số, được [[địnhgọi nghĩa]]là vô hướng. Vô hướng thường được lấy là số thực, nhưng cũng có các không gian vector với nhân vô hướng là số phức hoặc số ảo, hoặc tổng quát hơn là một trường bất kì. Toán tử cộng nhân vô hướng phải thỏa mãn các [[điều kiện nhất định gọi là tiên đề]], được liệt kê bên dưới. Để phân loại vô hướng là thực hay phức, ta thường dùng thuật ngữ không gian vector thực hoặc không gian vector đâyphức.
 
Không gian Euclid là một ví dụ của không gian vector. Chúng đại diện cho các đại lượng vô hướng như là lực: Mọi lực (cùng loại) có thể cộng với nhau để thu được lực thứ 3, và phép nhân vector lực với một số thực có thể thu được một vector lực. Cùng với đó, nhưng theo một cách hình học hơn, vector đại diện cho sự that thế của mặt phẳng trong mặt phẳng hoặc trong không gian 3 chiều cũng từ không gian vector. Vector trong không gian vector không cần thiết phải có một đại lượng dạng mũi tên như trong ví dụ của nó: vector được coi như là một đại lượng toán học với các tính chất cụ thể, đôi khi có thể mô tả một cách trực quan bằng một mũi tên.
 
Không gian vector là một phần trong đại số tuyến tính được quy định bởi số chiều của nó, nói một cách đại khái là số lượng các hướng độc lập trong không gian. Không gian vecotr vô hạn chiều xuất hiện tự nhiên trong toán phân tich, như là một không gian hàm, trong đó vector chính là các hàm. Những vector này được tổng quát với cấu trúc cộng thêm, được gọi là topology, cho phép xem xét các lỗi của tính địa phương và tính liên tục. topology được định nghĩa bởi norm hoặc tích vô hướng, được hiểu là có kí hiệu khoảng cách giữa các vector. Đây là trường hợp cụ thể của không gian Banach và không gian Hilbert, chúng là những khái niệm cơ bản trong toán học phân tích.
 
Các không gian [[vectơ]] quen thuộc là [[không gian Euclide|không gian Euclid]] hai chiều và ba chiều. Các vectơ trong các không gian này là các cặp [[số thực]] hay các bộ 3 số thực, có trật tự, và thường được biểu diễn như là một [[vectơ hình học]] với [[độ lớn]] và [[phương hướng]].
 
==Định nghĩa ==
Một vector được định nghĩa qua trường F là một tập V cùng với 2 toán tử thỏa mãn 8 tiên đề dưới đây. Theo đó, ''V'' × ''V'' kí hiệu cho phép nhân Cartesian của V với chính nó, và → kí hiệu cho một ánh xạ từ một nhóm đến một nhóm khác
Giả sử F là một [[trường (đại số)|trường]] (có thể là trường [[số thực]] hay trường [[số phức]]). Các phần tử của F được gọi là [[số vô hướng]]. Một không gian vectơ V định nghĩa trên trường F là một tập hợp V không rỗng mà trên đó hai phép cộng vectơ và phép nhân với số vô hướng được định nghĩa sao cho các [[tính chất cơ bản]] sau đây được thỏa mãn:
 
* Toán tử đầu tiên, được gọi là phép cộng vector hoặc đơn giản là phép cộng +: ''V'' × ''V'' → ''V,'' lấy 2 vector bất kì '''v và w''' và đánh dấu một vector thứ 3 được viết là '''v''' + '''w,''' được gọi là tổng của các vector.
* Toán tử thứ 2 được gọi là phép nhân vô hướng: ''F'' × ''V'' → ''V,'' lấy một vô hướng ''a'' bất kì và một vector '''v''', cho ta một vector khác ''a'''''v'''
 
# Phép cộng vectơ có tính [[kết hợp]]: <p style="margin-left: 2em">Với mọi '''u''', '''v''', '''w''' <math>\in</math> ''V'', ta có '''u''' + ('''v''' + '''w''') = ('''u''' + '''v''') + '''w'''.</p>
 
== Ví dụ ==
* '''Không gian <math> \R^ntọa </math>độ'''
 
* Không gian <math>M_{mn}(\R)</math> của các [[ma trận]] số thực kích thước (m,n)
ví dụ đơn giản nhất của một không gian vector thông qua trường F chính là chính nó, kết hợp với tính chất cộng và nhân của nó. Một cách tổng quát hơn, tất cả chuỗi dài n:
* Không gian gồm tất cả các hàm <math>f: [a,b] \to \R</math>
 
* Cho <math>{{P}_{n}}[x]</math> là tập hợp tất cả các đa thức biến ''x'' với hệ số thực có bậc bé hơn hoặc bằng n. Tức là:
(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a<sub>n</sub>'')
<math>{{P}_{n}}[x]=\left\{ f(x)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{\text{a}}_{\text{n}}}{{x}^{n}}:{{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}\in \mathbb{R} \right\}</math>
 
của tất cả các phần tử của F cấu tạo nên một không gian vector thường được kí hiệu bởi ''F<sup>n</sup>'' được gọi là không gian tọa độ.
<math>\forall f(x)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{\text{a}}_{\text{n}}}{{x}^{n}},\quad g(x)={{b}_{0}}+{{b}_{1}}x+{{b}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{b}_{\text{n}}}{{x}^{n}}\,\in {{P}_{n}}[x],\,\forall \alpha \in \mathbb{R}</math>
 
'''Số phức và các trường mở rộng'''
::''Phép cộng'' '''+''':
<math>\begin{align}
& (f+g)(x)=f(x)+g(x) \\
& =({{a}_{0}}+{{b}_{0}})+({{a}_{1}}+{{b}_{1}})x+({{a}_{2}}+{{b}_{2}}){{x}^{2}}+...+({{\text{a}}_{\text{n}}}+{{b}_{n}}){{x}^{n}} \\
& \leftrightarrow ({{a}_{0}}+{{b}_{0}},{{a}_{1}}+{{b}_{1}},{{a}_{2}}+{{b}_{2}},...,{{a}_{n}}+{{b}_{n}})=a\in {{\mathbb{R}}^{n+1}} \\
\end{align}</math>
 
Tập hợp các số phức '''C''', chính là, một số có thể viết dưới dạng ''x+iy'' cho mọi số thực x và y trong đó i là đơn vị ảo, cấu thành nên một không gian vector thông qua số thực với phép cộng và nhân thông thường
::''Phép nhân'' '''.''':
<math>\begin{align}
& k.f(x)=k{{a}_{0}}+k{{a}_{1}}x+k{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+k{{\text{a}}_{\text{n}}}{{x}^{n}} \\
& \leftrightarrow (k{{a}_{0}},k{{a}_{1}},k{{a}_{2}},...,k{{a}_{n}})=ka\in {{\mathbb{R}}^{n+1}} \\
\end{align}</math>
 
(''x'' + ''iy'') + (''a'' + ''ib'') = (''x'' + ''a'') + ''i''(''y'' + ''b'') và ''c'' ⋅ (''x'' + ''iy'') = (''c'' ⋅ ''x'') + ''i''(''c'' ⋅ ''y'') cho mọi số x,y,a,b và c
Như vậy, hai phép toán '''+''' và '''•''' thực hiện trên <math>{{P}_{n}}[x]</math> '''tương ứng''' với hai phép '''+''' và '''•''' thực hiện trên <math>{{\mathbb{R}}^{n+1}}</math> nên <math>({{P}_{n}}[x],+,\cdot)</math> là một không gian vector trên <math>\mathbb{R}</math>.Trong đó phần tử 0 là đa thức hằng 0.
 
==Xem thêm==
14

lần sửa đổi