Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Tỷ lệ vàng”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
n xóa tham số lỗi thời (via JWB) |
sửa cấu trúc và thêm nd |
||
Dòng 50:
:<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi\,.</math>
Bằng việc đơn giản hóa phân số đầu
:<math>
Vậy,số ''φ'' có 2 tính chất đặc biệt sau:▼
Nhân cả 2 vế với ''φ'' ta được
▲:<math>\varphi \times \varphi = \varphi + 1.</math>
:<math>
:<math>{\varphi}^2 - \varphi - 1 = 0.</math>
Giá trị của ''φ'' sau khi tính nghiệm [[phương trình bậc hai]] trên là
:<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803\,39887\dots\,</math>
Nghiệm còn lại của phương trình bậc hai trên là <math>-\frac{1}{\varphi}</math>, giá trị này tuy không phổ biến bằng nhưng nó có một số tính chất chung với ''φ''.
==Tỉ lệ vàng trong toán học==
===Tỷ lệ vàng là số vô tỉ===
Chứng minh: giả sử ''φ'' là số hữu tỉ, tức <math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> là số hữu tỉ, ta có thể biến đẳng thức thành <math>2\varphi - 1 = \sqrt{5}</math>, bởi ''φ'' là số hữu tỉ nên <math>2\varphi - 1</math> cũng là số hữu tỉ nhưng <math>\sqrt{5}</math> là số vô tỉ, mâu thuẫn với giả thuyết, do đó ''φ'' phải là số vô tỉ.
===Đa thức tối tiểu===
[[File:Golden ratio parabolas.png|thumb|Tỷ lệ vàng <math>\varphi</math> và nghịch đảo âm <math>-\varphi^{-1}</math> là nghiệm của phương trình bậc hai <math>x^2 - x - 1</math>. Giá trị âm của tỷ lệ vàng <math>-\varphi</math> và nghịch đảo <math>\varphi^{-1}</math> là nghiệm của phương trình bậc hai <math>x^2 + x - 1</math>.]]
Tỷ lệ vàng đồng thời là [[số đại số]], hơn nữa còn là [[số đại số nguyên]]. [[Đa thức tối tiểu (lý thuyết trường)|Đa thức tối tiểu]] của nó là:
:<math>x^2 - x - 1.</math>
Tỷ lệ vàng có quan hệ gần với đa thức
:<math>x^2 + x - 1,</math>
có nghiệm <math>-\varphi</math> và <math>\varphi^{-1}.</math>
===Tính chất khác===
:<math>\varphi \times \varphi = \varphi + 1.</math>
:<math>\frac{1}{\varphi} = \varphi - 1.</math>
===Liên phân số và căn liên tục===
Số ''φ'' có thể biểu diễn dưới dạng [[liên phân số]] và căn liên tục như sau:
:<math>\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 +... }}}}} = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}}</math>
| |||