Định lý Casey

Trong hình học phẳng, định lý Casey, được biết đến như một mở rộng định lý Ptoleme, được đặt theo tên nhà toán học người Ai Len John Casey.

Nội dung của định lýSửa đổi

 
 

Cho   là một đường tròn có bán kính  . Cho   là bốn đường tròn theo thứ tự không cắt nhau cùng ở trong (hoặc cùng ở ngoài) và tiếp xúc với đường tròn  . Định nghĩa   là độ dài tiếp tuyến ngoài của các đường tròn  . Khi đó:[1]

 

Trong trường hợp các đường tròn   suy biến thành một điểm định lý Casey suy biến thành định lý Ptoleme.

Chứng minhSửa đổi

Chứng minh sau đưa ra bởi Zacharias [2]. Gọi bán kính của đường tròn    và các đường tròn này tiếp xúc với   tại  . Gọi   là tâm của các đường tròn này.

Theo định lý Pytago

 

Trong tam giác  , áp dụng định lý cos chúng ta có độ dài của  

 

Vì các đường tròn   tiếp xúc nhau:

 

Gọi   là một điểm trên đường tròn  . Theo định lý sin trong tam giác   ta có:

 

Do đó:

 

Từ các đẳng thức trên ta có:

 
 
 

Cuối cùng ta có độ dài các đoạn tiếp tuyến là:

 

Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp   vế trái đẳng thức trên ta có:

 
 

Định lý được chứng minh.

Ứng dụngSửa đổi

Định lý Casey được sử dụng nhiều trong các bài báo về Hình học phẳng. Ví dụ định lý Casey được sử dụng để chứng minh định lý Feuerbach.

Xem thêmSửa đổi

Chú thíchSửa đổi

  1. ^ Casey, J. (1866). "On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane". Proceedings of the Royal Irish Academy 9: 396–423
  2. ^ Bottema, O. (1944). Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987).

Tham khảoSửa đổi

  • Casey, J. A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., p. 103, 1888.
  • Coolidge, J. L. A Treatise on the Geometry of the Circle and Sphere. New York: Chelsea, p. 37, 1971.
  • Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, p. 117, 1928.

Liên kết ngoàiSửa đổi