Định lý Friedlander–Iwaniec

Trong lý thuyết số giải tích, định lý Friedlander–Iwaniec phát biểu rằng có vô số số nguyên tố dưới dạng . Các số nguyên tố đầu tiên là

John Friedlander
Henryk Iwaniec
2, 5, 17, 37, 41, 97, 101, 137, 181, 197, 241, 257, 277, 281, 337, 401, 457, 577, 617, 641, 661, 677, 757, 769, 821, 857, 881, 977, … (dãy số A028916 trong bảng OEIS).

Độ khó của phát biểu nằm trong bản chất thưa thớt của dãy này: số các số nguyên có dạng và nhỏ hơn nằm vào khoảng .

Lịch sử

sửa

Định lý được chứng minh vào năm 1997 bởi John FriedlanderHenryk Iwaniec.[1] Trong 2001, Iwaniec nhận giải thưởng Ostrowski cho cống hiến của ông cho công trình.[2]

Cải thiện

sửa

Định lý này được cải thiện bởi D.R. Heath-BrownXiannan Li trong năm 2017.[3] Cụ thể, họ chứng minh rằng đa thức   biểu diễn vô số số nguyên tố khi biến   cũng là số nguyên tố. Hơn nữa, nếu   đếm số số nguyên tố nhỏ hơn   và có dạng   thì

 

trong đó

 

Trường hợp đặc biệt

sửa

Khi b = 1, các số nguyên tố Friedlander–Iwaniec có dạng  , tạo thành tập

2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401, 15377, … (dãy số A002496 trong bảng OEIS).

Hiện các nhà toán học đang đặt giả thuyết (một trong các bài toán của Landau) rằng tập này có vô hạn số phần tử. Tuy nhiên giả thuyết này không thể suy ra từ định lý Friedlander–Iwaniec được.

Tham khảo

sửa
  1. ^ Friedlander, John; Iwaniec, Henryk (1997), “Using a parity-sensitive sieve to count prime values of a polynomial”, PNAS, 94 (4): 1054–1058, doi:10.1073/pnas.94.4.1054, PMC 19742, PMID 11038598.
  2. ^ "Iwaniec, Sarnak, and Taylor Receive Ostrowski Prize"
  3. ^ Heath-Brown, D.R.; Li, Xiannan (2017), “Prime values of  ”, Inventiones Mathematicae, 208: 441–499, doi:10.1007/s00222-016-0694-0.

Đọc thêm

sửa