Số nguyên tố

những số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có đúng hai ước số là 1 và chính nó

Số nguyên tốsố tự nhiên lớn hơn 1 không phải là tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn. Nói cách khác, số nguyên tố là những số chỉ có đúng hai ước số là 1 và chính nó. Các số tự nhiên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số. Chẳng hạn, 5 là số nguyên tố bởi vì cách duy nhất để viết nó dưới dạng một tích, 1 × 5 hoặc 5 × 1, có một thừa số là chính số 5. Tuy nhiên, 4 là hợp số vì nó là tích của hai số (2 × 2) mà cả hai số đều nhỏ hơn 4. Số nguyên tố là nội dung trọng tâm trong lý thuyết số theo định lý cơ bản của số học: mọi số tự nhiên lớn hơn 1 hoặc là số nguyên tố hoặc có thể được phân tích ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất xê xích một phép hoán vị.

Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but the prime numbers cannot
Hợp số có thể được sắp xếp thành các hình chữ nhật, còn số nguyên tố thì không

Tính chất của một số nguyên tố được gọi là tính nguyên tố. Một phương pháp đơn giản để kiểm tra tính nguyên tố của một số , được gọi là giải thuật chia thử, kiểm tra xem có phải là bội số của bất kỳ số nguyên nào giữa 2 và hay không. Một số thuật toán khác bao gồm phép kiểm tra Miller–Rabin, tuy nhanh nhưng có xác suất nhỏ cho kết quả sai và phép kiểm tra tính nguyên tố AKS, vốn luôn cho lời giải đúng trong khoảng thời gian đa thức nhưng quá chậm để áp dụng trong thực tế. Ngoài ra, còn có một số thuật toán nhanh dành cho các số có dạng đặc biệt, chẳng hạn như số nguyên tố Mersenne. Tính đến tháng 9 năm 2020, số nguyên tố lớn nhất đã biết có 24.862.048 chữ số, được khám phá vào tháng 12 năm 2018.[1]

vô số số nguyên tố, như đã được Euclid chứng minh vào khoảng năm 300 TCN. Hầu như không có công thức đơn giản nào để phân biệt số nguyên tố và hợp số. Tuy nhiên, sự phân phối các số nguyên tố trong tập hợp các số tự nhiên có trong một khoảng giá trị lớn có thể được mô hình hóa theo thống kê. Kết quả đầu tiên theo hướng đó là định lý số nguyên tố, được chứng minh vào cuối thế kỷ 19, cho rằng xác suất để một số bất kỳ là số nguyên tố tỉ lệ nghịch với số chữ số của nó, nghĩa là với logarit của nó.

Một số bài toán lịch sử liên quan đến số nguyên tố vẫn chưa có lời giải. Chúng bao gồm giả thuyết Goldbach, cho rằng mọi số nguyên chẵn lớn hơn 2 có thể được biểu diễn thành tổng của hai số nguyên tố, và phỏng đoán về số nguyên tố sinh đôi, cho rằng có vô số cặp số nguyên tố chỉ có một số chẵn giữa chúng. Những bài toán như thế đã góp phần thúc đẩy sự phát triển của nhiều nhánh trong lý thuyết số tập trung vào khía cạnh đại sốgiải tích của các số. Số nguyên tố cũng có ứng dụng trong một số lĩnh vực của công nghệ thông tin, chẳng hạn như mật mã hóa khóa công khai, dựa vào sự phức tạp trong việc phân tích các số nguyên lớn ra thừa số nguyên tố. Trong đại số trừu tượng, còn có một số đối tượng khác có đặc điểm và tính chất giống với số nguyên tố, trong đó gồm phần tử nguyên tối-đê-an nguyên tố.

Định nghĩa và ví dụSửa đổi

Một số tự nhiên (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...) được gọi là số nguyên tố nếu nó lớn hơn 1 và không thể được biểu diễn thành tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn. Các số lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số.[2] Nói cách khác,   là số nguyên tố nếu   vật không thể chia đều thành nhiều nhóm nhỏ gồm nhiều hơn một vật,[3] hoặc   dấu chấm không thể được sắp xếp thành một hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng nhiều hơn một dấu chấm.[4] Chẳng hạn, trong các số từ 1 đến 6, số 2, 3 và 5 là số nguyên tố vì không có số nào khác có thể chia hết được chúng (số dư bằng 0).[5] 1 không phải là số nguyên tố vì nó đã được loại trừ ra khỏi định nghĩa. 4 = 2 × 26 = 2 × 3 đều là hợp số.

 
Hình minh họa cho thấy 7 là số nguyên tố vì không có số nào trong các số 2, 3, 4, 5, 6 có thể chia hết 7

Ước số của một số tự nhiên   là các số tự nhiên có thể chia hết được  . Mọi số tự nhiên đều có ít nhất hai ước số là 1 và chính nó. Nếu nó còn có thêm một ước số khác thì nó không thể là số nguyên tố. Từ ý tưởng đó mà ta có một định nghĩa khác về số nguyên tố: đó là những số chỉ có đúng hai ước số dương là 1 và chính nó.[6] Ngoài ra, còn có một cách diễn đạt khác nữa:   là số nguyên tố nếu nó lớn hơn 1 và không có số nào trong các số   có thể chia hết được nó.[7]

25 số nguyên tố đầu tiên (tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn 100) là:[8]

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (dãy số A000040 trong bảng OEIS).

Không có số chẵn   lớn hơn 2 nào là số nguyên tố vì một số chẵn bất kỳ có thể được biểu diễn thành  . Do đó, tất cả số nguyên tố ngoài số 2 là số lẻ và được gọi là số nguyên tố lẻ.[9] Tuơng tự, khi được viết trong hệ thập phân, tất cả số nguyên tố lớn hơn 5 đều có tận cùng là 1, 3, 7 hoặc 9. Các số có tận cùng là chữ số khác đều là hợp số: số có tận cùng là 0, 2, 4, 6 hoặc 8 là số chẵn, và số có tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.[10]

Tập hợp các số nguyên tố được ký hiệu là  [11] hoặc  .[12]

Lịch sửSửa đổi

 
Giấy cói Rhind

Giấy cói Rhind (từ khoảng năm 1550 trước Công nguyên) có chứa các khai triển phân số Ai Cập theo nhiều dạng khác nhau cho số nguyên tố và hợp số.[13] Tuy nhiên, các công trình nghiên cứu cụ thể về số nguyên tố được lưu lại sớm nhất đến từ toán học Hy Lạp cổ đại. Bộ Cơ sở của Euclid (khoảng 300 TCN) có phần chứng minh sự tồn tại vô số số nguyên tố và định lý cơ bản của số học, đồng thời nêu cách tạo ra một số hoàn thiện từ số nguyên tố Mersenne.[14][15] Một phát minh khác từ Hy Lạp là sàng Eratosthenes vẫn còn được dùng để lập danh sách các số nguyên tố.[16][17]

Khoảng năm 1000, nhà toán học Hồi giáo Ibn al-Haytham (Alhazen) tìm ra định lý Wilson, xác định số nguyên tố là các số   chia hết  . Ông cũng phỏng đoán rằng tất cả số hoàn thiện chẵn đều có thể được tạo ra từ số Mersenne theo cách xây dựng của Euclid, nhưng không chứng minh được.[18] Một nhà toán học Hồi giáo khác, Ibn al-Banna' al-Marrakushi tìm ra rằng sàng Eratosthenes có thể được đẩy nhanh khi chỉ kiểm tra các ước số lớn đến căn bậc hai của số lớn nhất được kiểm tra. Fibonacci sau đó đã mang những ý tưởng mới này từ toán học Hồi giáo về châu Âu. Cuốn Liber Abaci (1202) của ông là cuốn sách đầu tiên mô tả giải thuật chia thử để kiểm tra tính nguyên tố chỉ bằng việc kiểm tra các ước số lớn đến căn bậc hai của số cần kiểm tra.[17]

Năm 1640, Pierre de Fermat phát biểu định lý nhỏ Fermat (về sau được LeibnizEuler chứng minh).[19] Fermat cũng đã nghiên cứu và kiểm tra tính nguyên tố của số Fermat  ,[20]Marin Mersenne nghiên cứu số nguyên tố Mersenne, số nguyên tố có dạng   với   cũng là số nguyên tố.[21] Trong thư gửi Euler năm 1742, Christian Goldbach đã phát biểu giả thuyết Goldbach cho rằng mọi số chẵn đều là tổng của hai số nguyên tố.[22] Euler chứng minh được giả thuyết của Alhazen (về sau gọi là định lý Euclid–Euler) rằng mọi số hoàn thiện chẵn có thể được tạo ra từ số nguyên tố Mersenne.[15] Ông cũng giới thiệu các phuơng pháp được ứng dụng từ giải tích toán học trong lĩnh vực này khi chứng minh sự tồn tại vô số số nguyên tố và tính phân kỳ của tổng nghịch đảo các số nguyên tố  .[23] Đầu thế kỷ 19, LegendreGauss đưa ra phỏng đoán rằng khi   tiến về vô hạn thí số lượng số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng   tiệm cận về   với  logarit tự nhiên của  . Ý tưởng của Bernhard Riemann trong công trình năm 1859 về hàm zeta của ông đã góp phần vạch ra hướng đi để chứng minh phỏng đoán đó. Mặc dù một phỏng đoán liên quan là giả thuyết Riemann vẫn chưa có lời giải, đại cuơng của Riemann đã được hoàn thành vào năm 1896 bởi Hadamardde la Vallée Poussin và kết quả này hiện được biết đến với tên gọi định lý số nguyên tố.[24] Một thành tựu quan trọng khác trong thế kỷ 19 là định lý Dirichlet về cấp số cộng cho rằng một cấp số cộng nhất định chứa vô số số nguyên tố.[25]

Nhiều nhà toán học đã nghiên cứu các thuật toán kiểm tra tính nguyên tố với các số lớn hơn so với các số mà giải thuật chia thử có thể áp dụng được. Các thuật toán giới hạn về một dạng số cụ thể bao gồm kiểm tra Pépin cho số Fermat (1877),[26] định lý Proth (khoảng 1878),[27] kiểm tra Lucas–Lehmer (1856) và dạng tổng quát của nó, kiểm tra Lucas.[17]

Từ năm 1951, tất cả các số nguyên tố lớn nhất đã biết đều được tìm ra thông qua các thuật toán trên máy tính.[a] Công cuộc tìm ra số nguyên tố lớn hơn thế đã gây chú ý ngoài phạm vi toán học với dự án Great Internet Mersenne Prime Search và nhiều dự án điện toán phân tán khác.[8][29] Quan niệm rằng số nguyên tố ít được ứng dụng ngoài toán học thuần túy[b] đã bị xóa bỏ vào những năm 1970 khi mật mã hóa khóa công khai và mã hóa RSA được phát minh dựa trên số nguyên tố.[32]

Tầm quan trọng ngày càng lớn của việc kiểm tra tính nguyên tố và phân tích số nguyên tố trên máy tính dẫn đến sự phát triển của nhiều thuật toán khác có thể thực hiện được với các số rất lớn không thuộc bất kỳ dạng đặc biệt nào.[16][33][34] Lý thuyết toán học về số nguyên tố cũng tiếp tục phát triển trong thời kỳ hiện đại với định lý Green–Tao (2004) phát biểu rằng tồn tại các cấp số cộng dài bất kỳ chỉ chứa số nguyên tố, và chứng minh của Yitang Zhang năm 2013 rằng tồn tại vô số khoảng cách nguyên tố với kích thước giới hạn.[35]

Tính nguyên tố của số 1Sửa đổi

Đa số nhà toán học Hy Lạp cổ không cho rằng 1 là một số nên họ không thể xét được tính nguyên tố của nó.[36][37] Một số nhà toán học thời điểm đó cũng cho rằng số nguyên tố có được từ sự chia nhỏ các số lẻ nên họ không xem số 2 là số nguyên tố. Tuy nhiên, Euclid và đa số nhà toán học Hy Lạp cổ xem 2 là số nguyên tố. Các nhà toán học Hồi giáo cũng nối tiếp theo Hy Lạp, không công nhận 1 là một số.[36] Đến thời Trung CổPhục Hưng, các nhà toán học bắt đầu thừa nhận 1 là một số, và một vài trong số đó cho rằng số 1 là số nguyên tố đầu tiên.[38] Giữa thế kỷ 18, Christian Goldbach công nhận số 1 là số nguyên tố trong thư gửi Leonhard Euler, nhưng Euler lại không thừa nhận như thế.[39] Nhiều nhà toán học thế kỷ 19 vẫn cho rằng 1 là số nguyên tố,[40] và danh sách số nguyên tố có chứa số 1 vẫn tiếp tục được xuất bản cho đến năm 1956.[41][42]

Nếu định nghĩa số nguyên tố bị thay đổi để công nhận 1 là số nguyên tố, nhiều định lý liên quan đến nó sẽ phải được diễn đạt lại một cách rắc rối. Chẳng hạn, định lý cơ bản của số học khi đó sẽ bị sửa lại về mặt phân tích thành các số nguyên tố lớn hơn 1, vì mọi số đều có vô số cách phân tích mà trong đó số 1 xuất hiện với số lần bất kỳ.[40] Tuơng tự, sàng Eratosthenes cũng sẽ không hoạt động đúng cách, vì khi đó nó loại bỏ tất cả các bội của 1 (tức là tất cả các số khác) và cho đầu ra chỉ có duy nhất số 1.[42] Một số tính chất của số nguyên tố cũng không đúng đối với số 1: ví dụ, công thức của hàm phi Euler hoặc hàm tổng các ước số khác nhau với số nguyên tố so với số 1.[43] Đến đầu thế kỷ 20, các nhà toán học bắt đầu thừa nhận rằng số 1 không nên nằm trong danh sách số nguyên tố, mà thay vào đó cần nằm trong khái niệm đặc biệt: "đơn vị" trong lý thuyết vành.[40]

Tính chất cơ bảnSửa đổi

Sự phân tích duy nhấtSửa đổi

Viết một số thành tích của các số nguyên tố được gọi là phân tích nguyên tố của số đó. Chẳng hạn:

 

Các thừa số trong tích được gọi là thừa số nguyên tố. Một thừa số nguyên tố có thể xuất hiện nhiều lần, khi đó có thể dùng lũy thừa để gộp nhiều thừa số giống nhau đó lại thành một. Trong ví dụ trên, số 3 xuất hiện 2 lần và  bình phương hay lũy thừa bậc 2 của 3.

Tầm quan trọng thiết yếu của số nguyên tố trong lý thuyết số và toán học nói chung có được từ định lý cơ bản của số học.[44] Định lý này phát biểu rằng bất kỳ số nguyên nào lớn hơn 1 đều có thể được viết thành tích của một hoặc nhiều số nguyên tố. Hơn nữa, tích đó là duy nhất, vì dễ thấy trong hai phân tích nguyên tố của cùng một số, các thừa số nguyên tố luôn xuất hiện với số lần bằng nhau dù thứ tự của chúng có thể khác nhau.[45] Do đó, mặc dù có nhiều cách khác nhau để tìm cách phân tích một số thông qua thuật toán phân tích số nguyên nhưng chúng đều phải cho cùng một kết quả. Số nguyên tố vì vậy còn được gọi là "khối gạch cơ bản" của số tự nhiên.[46]

Một số chứng minh về tính duy nhất của phân tích nguyên tố được dựa trên bổ đề Euclid: Nếu   là số nguyên tố và   chia hết một tích   với    là số nguyên thì   cũng chia hết   hoặc   (hoặc cả hai).[47] Ngược lại, nếu một số   có tính chất khi chia hết một tích thì nó cũng chia hết ít nhất một thừa số trong tích, thì   phải là số nguyên tố.[48]

Sự tồn tại vô số số nguyên tốSửa đổi

vô số số nguyên tố. Nói cách khác, dãy các số nguyên tố

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

không bao giờ kết thúc. Phát biểu trên còn được gọi là định lý Euclid theo tên của nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid vì ông là người đầu tiên chứng minh được phát biểu này. Một số cách chứng minh khác về sự tồn tại vô số số nguyên tố bao gồm một chứng minh bằng giải tích của Euler, chứng minh của Goldbach dựa trên số Fermat,[49] chứng minh của Furstenberg từ tô pô học,[50] hay cách chứng minh đơn giản của Kummer.[51]

Chứng minh của Euclid cho thấy rằng một tập hợp hữu hạn các số nguyên tố bất kỳ là chưa hoàn thành.[52] Thật vậy, xét một tập hợp hữu hạn gồm các số nguyên tố  . Khi nhân các số đó với nhau và cộng thêm 1 thì ta được

 

Theo định lý cơ bản của số học thì   có một phân tích nguyên tố

 

với một hoặc nhiều thừa số nguyên tố.   có thể được chia hết bởi bất kỳ thừa số nào trong tích trên, nhưng lại có phần dư bằng 1 khi được chia bởi bất kỳ số nguyên tố nào trong tập hợp đã cho, nên không có thừa số nguyên tố nào của   có trong tập hợp đó. Vì không tồn tại một tập hợp hữu hạn nào chứa tất cả các số nguyên tố nên phải có vô số số nguyên tố.

Các số được tạo ra khi cộng thêm 1 vào tích của các số nguyên tố nhỏ nhất được gọi là số Euclid.[53] Năm số Euclid đầu tiên là số nguyên tố, nhưng số Euclid thứ sáu,

 

là hợp số.

Công thức số nguyên tốSửa đổi

Không có công thức số nguyên tố hiệu quả nào được biết đến. Chẳng hạn, không có đa thức khác hằng số nào, kể cả đa thức đa biến, chỉ cho duy nhất các giá trị nguyên tố.[54] Tuy nhiên, có một số biểu thức có thể tạo ra các giá trị nguyên tố, nhưng hiệu quả hoạt động khá thấp. Một công thức như thế được dựa trên định lý Wilson và có thể cho giá trị 2 nhiều lần, các giá trị nguyên tố khác đúng một lần.[55] Một hệ phương trình Diophantine gồm 9 biến và một tham số cũng tồn tại với tính chất: tham số đó là số nguyên tố khi và chỉ khi hệ phương trình thu được có một nghiệm trên tập hợp số tự nhiên. Tính chất đó có thể được dùng để suy ra một công thức với tính chất là tất cả các giá trị dương của nó đều là số nguyên tố.[54]

Hai công thức số nguyên tố khác đến từ định lý Mills và một định lý của Wright, cho rằng tồn tại hằng số thực    sao cho giá trị của

 

là số nguyên tố với mọi số tự nhiên   bất kỳ ở công thức thứ nhất và bất kỳ số lũy thừa nào trong công thức thứ hai.[56] Ở đây  hàm sàn, số lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng với số được xét. Tuy nhiên, các công thức này không hữu ích vì cần phải tạo ra các số nguyên tố trước tiên để tính   hoặc  .[54]

Các bài toán mởSửa đổi

Đã có nhiều giả thuyết được đặt ra liên quan đến số nguyên tố, và đa số giả thuyết như vậy không được chứng minh trong nhiều thập kỷ: cả bốn bài toán của Landau từ năm 1912 vẫn chưa có lời giải.[57] Một trong số đó là giả thuyết Goldbach cho rằng mọi số nguyên tố chẵn   lớn hơn 2 có thể được viết thành tổng của hai số nguyên tố.[58] Tính đến năm 2014, giả thuyết này đã được xác nhận là đúng với các số lớn đến  .[59] Một số giả thuyết tương tự như vậy đã được chúng minh, chẳng hạn, định lý Vinogradov cho rằng một số nguyên lẻ đủ lớn có thể được viết thành tổng của ba số nguyên tố.[60] Còn theo định lý Chen, một số nguyên tố chẵn đủ lớn có thể được biểu diễn thành tổng của một số nguyên tố và một số nửa nguyên tố (tích của hai số nguyên tố).[61] Đồng thời, một số nguyên chẵn lớn hơn 10 có thể được viết thành tổng của 6 số nguyên tố.[62] Nhánh của lý thuyết số nghiên cứu những bài toán như thế được gọi là lý thuyết cộng tính số.[63]

Một dạng bài toán khác có liên quan đến khoảng cách nguyên tố, tức là chênh lệch giữa hai số nguyên tố liên tiếp. Có thể thấy được sự tồn tại của các khoảng cách nguyên tố lớn tùy ý bằng cách chú ý rằng dãy số   chứa   hợp số với   là số tự nhiên.[64] Tuy nhiên, khoảng cách nguyên tố lớn này bắt đầu xuất hiện sớm hơn so với thời điểm mà lập luận này đã cho.[65] Chẳng hạn, khoảng cách nguyên tố đầu tiên với độ dài bằng 8 nằm giữa hai số 89 và 97, nhỏ hơn nhiều so với  .[66] Có giả thuyết cho rằng có vô số cặp số nguyên tố sinh đôi, tức là cặp số nguyên tố với chênh lệch bằng 2; đó chính là giả thuyết số nguyên tố sinh đôi. Giả thuyết Polignac phát biểu tổng quát hơn rằng với một số nguyên dương   bất kỳ, tồn tại vô số các cặp số nguyên tố liên tiếp sai khác nhau  .[67] Giả thuyết Andrica,[67] giả thuyết Brocard,[68] giả thuyết Legendre [69]giả thuyết Oppermann[68] đều cho rằng khoảng cách lớn nhất giữa các số nguyên tố từ 1 đến   phải là xấp xỉ  , một kết quả được cho là suy ra từ giả thuyết Riemann, trong khi giả thuyết Cramér đặt khoảng cách lớn nhất đó bằng  .[67] Khoảng cách nguyên tố có thể được khái quát hóa thành bộ   số nguyên tố, một bộ gồm khoảng cách giữa nhiều hơn hai số nguyên tố. Tính vô hạn và mật độ của chúng là vấn đề chính trong giả thuyết Hardy–Littlewood đầu tiên, vốn có thể được suy ra từ thuật giải heuristic rằng số nguyên tố có tính chất tương tự như một dãy số ngẫu nhiên với mật độ được cho bởi định lý số nguyên tố.[70]

Tính chất trong giải tíchSửa đổi

Lý thuyết số giải tích nghiên cứu lý thuyết số qua các khái niệm hàm số liên tục, giới hạn, chuỗi vô hạn và các khái niệm liên quan đến vô hạnsố nhỏ vô hạn.

Leonhard Euler là người đầu tiên khởi xướng ra ngành nghiên cứu này với thành tựu quan trọng đầu tiên là lời giải cho bài toán Basel. Bài toán yêu cầu tìm giá trị của tổng vô hạn   mà ngày nay được công nhận là giá trị   của hàm zeta Riemann. Hàm này có liên hệ mật thiết với số nguyên tố và giả thuyết Riemann, một trong những bài toán chưa được giải có ý nghĩa quan trọng nhất trong toán học. Euler chứng minh được rằng  .[71] Nghịch đảo của số đó,  , là giới hạn của xác suất để hai số được chọn ngẫu nhiên từ một khoảng giá trị lớn là hai số nguyên tố cùng nhau (không có thừa số chung nào).[72]

Sự phân phối các số nguyên tố trong khoảng giá trị lớn đó, chẳng hạn như có bao nhiêu số nguyên tố nhỏ hơn một số lớn cho trước, được mô tả bởi định lý số nguyên tố, nhưng không có công thức cho số nguyên tố thứ   được biết đến. Ở dạng cơ bản nhất, định lý Dirichlet về cấp số cộng phát biểu rằng đa thức tuyến tính

 

với    nguyên tố cùng nhau cho vô số các giá trị nguyên tố. Dạng chặt chẽ hơn của định lý phát biểu rằng tổng của nghịch đảo các giá trị nguyên tố đó phân kỳ, và các đa thức tuyến tính khác nhau với   bằng nhau có tỉ lệ số nguyên tố gần như nhau. Mặc dù đã có nhiều giả thuyết được đặt ra về tỉ lệ số nguyên tố trong các đa thức bậc cao nhưng chúng vẫn chưa được chứng minh, và không rõ có tồn tại một đa thức bậc hai nào có thể luôn cho các giá trị nguyên tố một cách thường xuyên hơn hay không.

Chứng minh định lý Euclid bằng giải tíchSửa đổi

Chứng minh của Euler về sự tồn tại vô số số nguyên tố xét tổng nghịch đảo các số nguyên tố

 

Euler chứng minh được rằng với một số thực   bất kỳ, tồn tại một số nguyên tố   sao cho tổng trên lớn hơn  .[73] Nếu chỉ có một số hữu hạn các số nguyên tố thì tổng này phải đạt giá trị lớn nhất tại số nguyên tố lớn nhất thay vì tăng dần qua các giá trị của  , do đó có vô số số nguyên tố. Tốc độ gia tăng giá trị của tổng này được mô tả rõ hơn trong định lý thứ hai của Mertens.[74] Để so sánh, tổng

 

không tăng đến vô hạn khi   tiến đến vô hạn (xem bài toán Basel). Trong trường hợp này, số nguyên tố xuất hiện thường xuyên hơn so với bình phuơng các số tự nhiên, mặc dù cả hai tập hợp đều là vô hạn.[75] Định lý Brun phát biểu rằng tổng nghịch đảo các số nguyên tố sinh đôi

 

là hữu hạn. Do định lý này nên không thể áp dụng cách của Euler để chứng minh giả thuyết số nguyên tố sinh đôi rằng có vô số cặp số nguyên tố sinh đôi.[75]

Số lượng số nguyên tố nằm dưới một số cho trướcSửa đổi

 
Sai số tuơng đối của   và tích phân logarit  , hai xấp xỉ của hàm đếm số nguyên tố. Cả hai sai số tuơng đối đều giảm dần về 0 khi   tăng dần, nhưng tốc độ giảm này nhanh hơn nhiều đối với tích phân logarit.

Hàm đếm số nguyên tố   được định nghĩa là số lượng số nguyên tố không lớn hơn  .[76] Ví dụ,  , nghĩa là có 5 số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 11. Có một số phuơng pháp để tính giá trị chính xác của   nhanh hơn so với khi liệt kê tất cả các số nguyên tố lớn đến  , chẳng hạn như thuật toán Meissel–Lehmer.[77] Định lý số nguyên tố phát biểu rằng   tiệm cận với   hay

 

nghĩa là tỉ số giữa   và phân số ở vế phải tiến về 1 khi   tăng đến vô hạn.[78] Kéo theo đó, xác suất để một số nhỏ hơn   được chọn ngẫu nhiên là số nguyên tố tỉ lệ nghịch với số chữ số của  .[79] Đồng thời, số nguyên tố thứ   tỉ lệ thuận với   và độ dài trung bình của khoảng cách nguyên tố tỉ lệ thuận với  .[65][80] Một xấp xỉ chính xác hơn của   được cho bởi tích phân logarit bù[78]

 

Cấp số cộngSửa đổi

Cấp số cộng là một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn sao cho các số liên tiếp trong dãy đều có chênh lệch bằng nhau.[81] Chênh lệch đó được gọi là mô đun (công sai) của cấp số cộng.[82] Ví dụ,

3, 12, 21, 30, 39, ...

là cấp số cộng vô hạn với mô đun 9. Trong một cấp số cộng, phép chia của tất cả các số cho mô đun đều cho số dư bằng nhau; trong ví dụ trên, số dư đó bằng 3. Vì cả mô đun 9 và số dư 3 đều là bội của 3 nên các phần tử khác trong dãy cũng vậy. Do đó, cấp số cộng đã cho chỉ chứa một số nguyên tố duy nhất, đó chính là số 3. Tổng quát, cấp số cộng vô hạn

 

có thể chứa nhiều hơn một số nguyên tố chỉ khi số dư   và mô đun   nguyên tố cùng nhau. Khi đó, theo định lý Dirichlet về cấp số cộng, cấp số cộng đó chứa vô số số nguyên tố.[83]

Số nguyên tố trong cấp số cộng mô đun 9. Mỗi hàng trong thanh nhỏ nằm ngang chỉ một trong chín cấp số cộng mod 9 khác nhau, trong đó số nguyên tố được đánh dấu màu đỏ. Cấp số cộng 0, 3 hoặc 6 mod 9 chỉ chứa nhiều nhất một số nguyên tố (số 3); các cấp số cộng còn lại là 2, 4, 5, 7 và 8 mod 9 chứa vô số số nguyên tố với số lượng số nguyên tố như nhau trong mỗi cấp số cộng

Định lý Green–Tao cho thấy tồn tại các cấp số cộng hữu hạn dài tùy ý chỉ chứa các số nguyên tố.[35][84]

Giá trị nguyên tố của đa thức bậc haiSửa đổi

 
Xoắn Ulam. Các số nguyên tố (màu đỏ) tập trung ở một số đường chéo nhất định. Các giá trị nguyên tố của   được tô màu xanh.

Euler nhận thấy rằng hàm

 

cho giá trị là số nguyên tố với  , mặc dù các giá trị hợp số bắt đầu xuất hiện khi   lớn hơn 40.[85][86] Việc tìm ra giải thích cho hiện tượng này chính là tiền đề của lý thuyết số đại số với số Heegnerbài toán lớp số.[87] Giả thuyết F của Hardy–Littlewood dự đoán mật độ số nguyên tố trong các giá trị của đa thức bậc hai với hệ số nguyên về mặt tích phân logarit và hệ số của đa thức. Không có đa thức bậc hai nào được chứng minh là chỉ cho các giá trị nguyên tố.[88]

Xoắn Ulam sắp xếp các số tự nhiên thành một mặt phẳng hai chiều, xoắn ở các hình vuông đồng tâm quanh điểm gốc với số nguyên tố được đánh dấu. Dễ thấy trong ví dụ này, các số nguyên tố chỉ tập trung ở một số đường chéo nhất định, ngụ ý rằng có một số đa thức bậc hai cho giá trị nguyên tố thường xuyên hơn các đa thức khác.[88]

Hàm zeta và giả thuyết RiemannSửa đổi

 
Đồ thị giá trị tuyệt đối của hàm zeta

Giả thuyết Riemann (1859) là một trong những bài toán chưa được giải nổi tiếng nhất toán học và một là trong bảy bài toán thiên niên kỷ, yêu cầu tìm các nghiệm số của hàm zeta Riemann  . Hàm này là một hàm giải tích trên tập số phức. Với số phức   có phần thực lớn hơn 1, nó bằng một tổng vô hạn trên tất cả số nguyên và một tích vô hạn trên tất cả số nguyên tố:

 

Sự bằng nhau này giữa một tổng và một tích (do Euler tìm ra) được gọi là tích Euler.[89] Tích Euler có thể được suy ra từ định lý cơ bản của số học và cho thấy sự liên hệ giữa hàm zeta và số nguyên tố.[90] Nó dẫn đến một cách chứng minh khác về sự tồn tại vô số số nguyên tố: nếu chỉ có một số hữu hạn số nguyên tố thì dấu bằng giữa tổng và tích cũng xảy ra tại   nhưng tổng có tính phân kỳ (đó chính là chuỗi điều hòa  ) trong khi tích có tính hội tụ (mang giá trị hữu hạn), mâu thuẫn.[91]

Giả thuyết Riemann phát biểu rằng nghiệm số của hàm zeta là tất cả các số âm chẵn hoặc các số phức với phần thực bằng 1/2.[92] Chứng minh ban đầu của định lý số nguyên tố được dựa trên dạng không chặt chẽ của giả thuyết này cho rằng không có nghiệm số nào có phần thực bằng 1,[93][94] mặc dù còn có thêm một số cách chứng minh cơ bản khác.[95] Hàm đếm số nguyên tố có thể được biểu diễn bởi công thức tường minh của Riemann thành một tổng mà trong đó, mỗi số hạng đến từ một nghiệm số của hàm zeta: số hạng chính của tổng là tích phân logarit và các số hạng còn lại làm cho giá trị của tổng dao động quanh số hạng chính đó.[96] Trong trường hợp này, các nghiệm số làm ảnh hưởng đến sự phân phối các số nguyên tố. Nếu giả thuyết Riemann là đúng, độ dao động đó sẽ nhỏ lại và sự phân phối tiệm cận các số nguyên tố được cho bởi định lý số nguyên tố cũng đúng trên các khoảng nhỏ hơn rất nhiều (có độ dài gần bằng căn bậc hai của   đối với khoảng nằm gần một số  ).[94]

Đại số trừu tượngSửa đổi

Số học mô đun và trường hữu hạnSửa đổi

Số học mô đun là một dạng khác của số học thông thường chỉ dùng các số   với một số tự nhiên   được gọi là mô đun. Bất kỳ số tự nhiên nào khác đều có thể được ánh xạ vào hệ thống này bằng cách thay nó bằng số dư của nó khi được chia bởi  .[97] Mô đun tổng, hiệu và tích được tính bằng cách thực hiện phép thế bằng số dư trong phép chia của tổng, hiệu hoặc tích các số nguyên thông thường.[98] Sự bằng nhau giữa các số nguyên có liên quan đến khái niệm đồng dư trong số học mô đun:    đồng dư (ký hiệu  ) khi phép chia của chúng bởi   cho số dư bằng nhau.[99] Tuy nhiên, trong hệ thống số đó, chỉ có thể xảy ra phép chia cho một số khác 0 khi và chỉ khi mô đun là số nguyên tố. Chẳng hạn, với mô đun 7, có thể tồn tại phép chia cho 3:  , vì khi nhân cả hai vế cho 3 thì ta được biểu thức đúng  . Nhưng với mô đun 6 (là một hợp số), không thể tồn tại phép chia cho 3: phương trình   vô nghiệm vì khi nhân cả hai vế cho 3 thì vế trái trở thành số 2 còn vế phải trở thành số 0 hoặc số 3. Trong đại số trừu tượng, khả năng thực hiện phép chia có nghĩa rằng mô đun một số nguyên tố tạo thành một trường được gọi là trường hữu hạn, trong khi các mô đun khác chỉ tạo ra vành.[100]

Bằng số học mô đun, có thể suy ra được một số định lý về số nguyên tố. Ví dụ, định lý nhỏ Fermat phát biểu rằng nếu   (mod  ) thì   (mod  ).[101] Lấy tổng trên tất cả giá trị của  , ta được phương trình

 

đúng khi   là số nguyên tố. Giả thuyết Giuga cho rằng phương trình này là điều kiện đủ để   là số nguyên tố.[102] Theo định lý Wilson, một số nguyên   là số nguyên tố khi và chỉ khi giai thừa   đồng dư với –1 mod  . Với một hợp số thì định lý này không đúng, vì khi đó có một trong hai thừa số chia hết cả n  nên không thể có  .[103]

Số p-adicSửa đổi

Cấp  -adic   của một số nguyên   là số lần xuất hiện của   trong phân tích nguyên tố của  . Khái niệm này có thể được mở rộng cho số hữu tỉ: cấp  -adic của một phân số   được xác định là  . Khi đó, giá trị tuyệt đối  -adic   của một số hữu tỉ   . Khi nhân một số nguyên với giá trị tuyệt đối  -adic của nó thì các thừa số   trong phân tích nguyên tố của số nguyên đó bị khử và chỉ còn lại các thừa số nguyên tố khác. Giống như khi đo khoảng cách giữa hai số thực bằng giá trị tuyệt đối thông thường, khoảng cách giữa hai số hữu tỉ có thể được đo bằng độ dài  -adic, tức là giá trị tuyệt đối  -adic của hiệu hai số đó. Theo định nghĩa khoảng cách đó, hai số được gọi là gần nhau (có khoảng cách nhỏ) khi hiệu giữa chúng có thể chia hết bởi một lũy thừa bậc cao của  . Bằng cùng một cách mà số thực được tạo thành từ số hữu tỉ và khoảng cách giữa chúng cùng một số giá trị giới hạn được thêm vào để hợp lại thành một trường đầy đủ, các số hữu tỉ với khoảng cách   có thể được mở rộng sang một trường đầy đủ khác được gọi là số  -adic.[104][105]

Các khái niệm về cấp, giá trị tuyệt đối và trường đầy đủ suy ra từ chúng có thể được khái quát hóa cho trường số đại sốđịnh chuẩn của chúng (ánh xạ nhất định từ nhóm nhân của trường đó sang một nhóm cộng được sắp toàn phần), giá trị tuyệt đối (ánh xạ nhân nhất định từ trường đó sang số thực),[104] và vị trí (sự mở rộng thành một trường đầy đủ từ một tập trù mật cho trước).[106] Chẳng hạn, sự mở rộng từ tập số hữu tỉ sang tập số thực là một vị trí mà tại đó khoảng cách giữa hai số là giá trị tuyệt đối thông thường của hiệu hai số đó. Ánh xạ tương ứng sang một nhóm cộng là logarit của giá trị tuyệt đối đó, mặc dù nó không thỏa mãn tất cả yêu cầu của một định chuẩn. Theo định lý Ostrowski, trước khái niệm tự nhiên về tương đương, số thực và số  -adic cùng cấp và giá trị tuyệt đối của chúng là định chuẩn, giá trị tuyệt đối và vị trí duy nhất trên tập số hữu tỉ.[104] Nguyên lý Hasse cho phép giải nhiều bài toán trên số hữu tỉ bằng cách hợp các nghiệm từ các vị trí của chúng lại với nhau, một lần nữa nhấn mạnh tầm quan trọng của số nguyên tố trong lý thuyết số.[107]

Phần tử nguyên tố trong vànhSửa đổi

 
Số nguyên tố Gauss với chuẩn nhỏ hơn 500

Vành giao hoán là một cấu trúc đại số có định nghĩa phép cộng, phép trừ và phép nhân. Tập số nguyên là một vành và số nguyên tố trong tập đó đã được khái quát hóa sang lý thuyết vành với thuật ngữ phần tử nguyên tốphần tử tối giản. Một phần tử   của vành   được gọi là phần tử nguyên tố nếu nó khác 0, không có nghịch đảo (không phải phần tử đơn vị) và thỏa mãn điều kiện: khi   chia hết tích   gồm hai phần tử trong   thì nó cũng chia hết ít nhất một trong hai phần tử   . Một phần tử được gọi là phần tử tối giản nếu nó không phải phần tử đơn vị, cũng không phải là tích của hai phần tử khác phần tử đơn vị. Trong vành số nguyên, các phần tử nguyên tố và tối giản tạo thành cùng một tập hợp

 

Trong một vành bất kỳ, mọi phần tử nguyên tố đều là phần tử tối giản. Phát biểu ngược lại của nó chỉ đúng trong miền phân tích nhân tử duy nhất.[108]

Định lý cơ bản của số học là đúng (theo định nghĩa) trong miền phân tích nhân tử duy nhất. Ví dụ về một miền như thế là vành số nguyên Gauss  , vành các số phức dạng   với  đơn vị ảo   là số nguyên bất kỳ. Các phần tử nguyên tố của vành đó được gọi là số nguyên tố Gauss. Một số nguyên tố trong vành số nguyên có thể không phải là số nguyên tố trong vành số nguyên Gauss; chẳng hạn, số 2 có thể được viết thành tích của hai số nguyên tố Gauss   . Số nguyên tố hữu tỉ (phần tử nguyên tố trong vành số nguyên) đồng dư với 3 mod 4 là số nguyên tố Gauss, nhưng số nguyên tố hữu tỉ đồng dư với 1 mod 4 không phải vậy.[109] Đó là một hệ quả của định lý Fermat về tổng của hai số chính phương, phát biểu rằng một số nguyên tố lẻ   có thể được biểu diễn thành tổng của hai số chính phương,  , và do đó có thể được phân tích thành  , chỉ khi   đồng dư với 1 mod 4.[110]

I-đê-an nguyên tốSửa đổi

Không phải mọi vành đều là miền phân tích nhân tử duy nhất. Chẳng hạn, trong vành các số   (với    là số nguyên), số 21 có hai cách phân tích:  , trong đó cả bốn thừa số đều là tối giản, nên nó không có một phân tích nhân tử duy nhất. Để mở rộng khái niệm phân tích nhân tử duy nhất sang các lớp vành khác lớn hơn, có thể thay thế thuật ngữ về số bằng thuật ngữ về i-đê-an, một tập hợp con của các phần tử trong một vành chứa tổng của mỗi cặp phần tử của nó và tích của mỗi phần tử của nó với một phần tử trong vành. I-đê-an nguyên tố, vốn khái quát hóa phần tử nguyên tố trong trường hợp i-đê-an chính tạo ra bởi một phần tử nguyên tố là một i-đê-an nguyên tố, là một công cụ quan trọng và chủ đề nghiên cứu chính trong đại số giao hoán, lý thuyết số đại sốhình học đại số. Các i-đê-an nguyên tố trong vành số nguyên là (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... Định lý cơ bản của số học được khái quát hóa thành định lý Lasker–Noether biểu diễn một i-đê-an bất kỳ trong một vành giao hoán Noether thành giao của các i-đê-an sơ cấp, một dạng khái quát hóa thích hợp của lũy thừa nguyên tố.[111]

Phổ của một vành là một không gian hình học mà các điểm trong đó là các i-đê-an nguyên tố của vành đó.[112] Thuật ngữ này giúp ích nhiều cho hình học đại số và nhiều khái niệm liên quan khác cũng xuất hiện trong hình học và lý thuyết số. Chẳng hạn, sự phân tích hoặc phân chia i-đê-an nguyên tố khi áp dụng trong một trường mở rộng, một bài toán cơ bản của lý thuyết số đại số, thì có tương đồng với sự phân chia trong hình học. Các khái niệm này thậm chí còn có thể hỗ trợ giải một số bài toán đặc biệt liên quan đến số nguyên trong lý thuyết số. Ví dụ, có thể dùng i-đê-an nguyên tố trong vành số nguyên của trường số bậc hai để chứng minh luật tương hỗ bậc hai, một phát biểu về sự tồn tại của biểu thức căn bậc hai mô đun một số nguyên tố nguyên.[113] Những cố gắng ban đầu để chứng minh định lý cuối của Fermat đã dẫn đến sự ra đời khái niệm số nguyên tố chính quy, những số nguyên tố nguyên liên quan đến sự không tồn tại phân tích nhân tử duy nhất trong trường số nguyên chia đường tròn.[114] Bài toán có bao nhiêu số nguyên tố nguyên có thể được phân tích thành một tích gồm nhiều i-đê-an nguyên tố trong một trường số đại số được giải quyết bằng định lý mật độ Chebotarev mà khi được áp dụng cho số nguyên chia đường tròn thì có trường hợp đặc biệt là định lý Dirichlet về số nguyên tố trong cấp số cộng.[115]

Lý thuyết nhómSửa đổi

Trong lý thuyết nhóm hữu hạn, định lý Sylow phát biểu rằng nếu lũy thừa của một số nguyên tố   chia hết cấp của một nhóm thì nó có một nhóm con với cấp  . Theo định lý Lagrange, một nhóm với cấp nguyên tố là nhóm cyclic, và theo định lý Burnside thì một nhóm có cấp chia hết được bởi đúng hai số nguyên tố là nhóm giải được.[116]

Phương pháp tínhSửa đổi

 
Bánh răng nhỏ trong một thiết bị nông nghiệp có 13 răng (là số nguyên tố) và bánh răng vừa có 21 răng (nguyên tố cùng nhau với 13).

Trong một thời gian dài, lý thuyết số nói chung và ngành nghiên cứu số nguyên tố nói riêng từng được xem là ví dụ kinh điển về toán học thuần túy khi không có ứng dụng nào ngoài phạm vi toán học,[b] ngoại trừ việc dùng các bánh răng với số răng là số nguyên tố để hạn chế mài mòn.[117] Thậm chí, một số nhà lý thuyết số như nhà toán học người Anh G. H. Hardy còn tự hào về chính họ khi làm những công trình nghiên cứu hoàn toàn không có ý nghĩa quân sự gì.[118]

Góc nhìn này đã bị xóa bỏ vào những năm 1970, khi số nguyên tố đã có thể được dùng làm cơ sở để tạo ra các thuật toán mật mã hóa khóa công khai.[32] Những ứng dụng này đã góp phần đẩy mạnh hoạt động nghiên cứu thuật toán thực hiện phép tính trên số nguyên tố và các phương pháp kiểm tra tính nguyên tố của một số. Thuật toán kiểm tra tính nguyên tố cơ bản nhất, giải thuật chia thử, quá chậm đối với số rất lớn. Một nhóm thuật toán hiện đại có thể áp dụng được cho một số bất kỳ, trong khi còn có các thuật toán hiệu quả hơn dành cho các nhóm số đặc biệt. Đa số thuật toán kiểm tra tính nguyên tố chỉ cho biết đầu vào của chúng có phải là số nguyên tố hay không. Một số đoạn chương trình khác còn xuất ra một (hoặc tất cả) thừa số nguyên tố từ đầu vào là hợp số và được gọi là thuật toán phân tích số nguyên. Số nguyên tố cũng có ứng dụng trong điện toán như giá trị tổng kiểm, bảng bămbộ sinh số giả ngẫu nhiên.

Giải thuật chia thửSửa đổi

Phương pháp đơn giản nhất để kiểm tra tính nguyên tố của một số nguyên   cho trước được gọi là giải thuật chia thử. Thuật toán này chia   cho tất cả số nguyên từ 2 đến căn bậc hai của  . Khi có bất kỳ số nguyên nào chia hết   thì   là hợp số, ngược lại thì nó là số nguyên tố. Các số lớn hơn căn bậc hai đó không cần được kiểm tra, vì khi   thì một trong hai thừa số    nhỏ hơn hoặc bằng căn bậc hai của  . Một dạng tối ưu khác là chỉ kiểm tra các thừa số nguyên tố trong khoảng đó.[119] Chẳng hạn, để kiểm tra xem 37 có phải là số nguyên tố hay không, thuật toán này chia nó cho các số nguyên tố trong khoảng từ 2 đến 37, đó là số 2, 3 và 5. Cả ba phép chia đều có số dư khác 0 nên 37 chính là số nguyên tố.

Phương pháp này dù đơn giản nhưng nó không thực tế khi kiểm tra tính nguyên tố của các số nguyên lớn, vì số phép chia tăng dần theo cấp số nhân khi số chữ số của số nguyên đó càng nhiều.[120] Tuy nhiên, giải thuật chia thử vẫn được sử dụng để tìm nhanh hợp số với thừa số nhỏ trước khi áp dụng những phương pháp phức tạp hơn đối với các số vượt qua được giải thuật đó.[121]

SàngSửa đổi

 
Sàng Eratosthenes bắt đầu với tất cả các số đều không được đánh dấu (màu xám). Sàng này tìm số đầu tiên không được đánh dấu (màu tối) và đánh dấu bình phương của nó và tất cả các bội lớn hơn sau đó là hợp số (màu sáng hơn). Sau khi đã đánh dấu các bội của 2 (đỏ), 3 (xanh lá), 5 (xanh dương) và 7 (vàng), tất cả các số nguyên tố lớn đến căn bậc hai của kích thước bảng đều đã được xét, và tất cả các số còn lại chưa được đánh dấu (11, 13, ...) đều là số nguyên tố (màu cánh sen).

Trước khi máy tính ra đời, nhiều bảng số liệt kê tất cả số nguyên tố hoặc phân tích nguyên tố đến một giới hạn cho trước đã được phát hành rộng rãi.[122] Phương pháp cổ xưa nhất để lập danh sách số nguyên tố được gọi là sàng Eratosthenes.[123] Hình minh họa bên phải cho thấy một dạng tối ưu của phương pháp này.[124] Một sàng khác hiệu quả hơn để giải quyết bài toán đó là sàng Atkin.[125] Trong toán học nâng cao, lý thuyết sàng áp dụng các phương pháp tương tự vào nhiều bài toán khác.[126]

Kiểm tra tính nguyên tố và chứng minh tính nguyên tốSửa đổi

Một số thuật toán hiện đại nhanh nhất để giải quyết bài toán về tính nguyên tố của một số   bất kỳ cho trước là các thuật toán xác suất (Monte Carlo), nghĩa là nó có một khả năng nhỏ ngẫu nhiên cho câu trả lời sai.[127] Chẳng hạn, kiểm tra Solovay–Strassen với một số cho trước   chọn ngẫu nhiên một số   trong khoảng từ 2 đến   và sử dụng lũy thừa mô đun để kiểm tra xem   có chia hết được bởi   hay không.[c] Nếu đúng là như vậy thì nó trả lời "có" và ngược lại thì nó trả lời "không". Nếu   đúng là số nguyên tố thì nó luôn trả lời "có", nhưng nếu   là hợp số thì nó trả lời "có" với xác suất lớn nhất là 1/2 và "không" với xác suất nhỏ nhất là 1/2.[128] Nếu thuật toán này được lặp lại   lần trong cùng một số, xác suất lớn nhất để một hợp số vượt qua được thuật toán mọi lần là  . Vì xác suất đó giảm dần theo cấp số nhân khi số lần thực hiện kiểm tra tăng dần nên nó dẫn đến khả năng cao (nhưng không chắc chắn) rằng một số vượt qua được thuật toán lặp lại đó là số nguyên tố. Mặt khác, nếu một số không vượt qua được kiểm tra thì nó chắc chắn là hợp số.[129] Một hợp số vượt qua được một kiểm tra như thế được gọi là số giả nguyên tố.[128]

Ngược lại, một số thuật toán khác đảm bảo rằng câu trả lời luôn luôn đúng: số nguyên tố sẽ luôn luôn được xác định là số nguyên tố và hợp số sẽ luôn luôn được xác định là hợp số. Chẳng hạn, phát biểu này là đúng đối với giải thuật chia thử. Những thuật toán với đầu ra đảm bảo chính xác bao gồm thuật toán tất định như phép kiểm tra tính nguyên tố AKS,[130] và các thuật toán Las Vegas ngẫu nhiên mà trong đó những lựa chọn ngẫu nhiên của thuật toán không ảnh hưởng gì đến kết quả cuối cùng, chẳng hạn như một số dạng của phép chứng minh tính nguyên tố bằng đường cong elliptic.[127] Khi phương pháp đường cong elliptic kết luận rằng một số là số nguyên tố, nó cũng xuất ra một chứng nhận tính nguyên tố có thể được xác nhận nhanh chóng.[131] Kỹ thuật đường cong elliptic là nhanh nhất trong số các thuật toán với độ chính xác tuyệt đối, nhưng thời gian thực thi chỉ được đo dựa trên thực nghiệm thay vì lập luận chứng minh. Kiểm tra AKS có độ phức tạp tính toán được chứng minh bằng lập luận toán học nhưng hoạt động chậm hơn so với kỹ thuật đường cong elliptic.[132] Các phương pháp này có thể được dùng để tạo ra các số nguyên tố lớn bằng cách tạo và kiểm tra các số ngẫu nhiên đến khi tìm được một số nguyên tố; khi đó, một thuật toán kiểm tra xác suất có thể nhanh chóng loại đi phần lớn hợp số trước khi một thuật toán "chắc chắn đúng" được dùng để xác thực lại rằng các số còn lại là số nguyên tố.[d]

Bảng dưới đây liệt kê một số thuật toán như vậy. Thời gian hoạt động được cho theo số được kiểm tra   và số vòng lặp   (đối với thuật toán xác suất). Đồng thời,   là một số dương nhỏ bất kỳ và  logarit cơ số không xác định. Ký hiệu O lớn nghĩa là mỗi khoảng thời gian phải được nhân lên bởi một hằng số tỉ lệ để chuyển nó từ một đại lượng vô hướng sang đơn vị thời gian; hằng số này phụ thuộc vào thông số kỹ thuật chẳng hạn như loại máy tính được dùng để thực hiện thuật toán, nhưng không phụ thuộc vào tham số đầu vào   .

Thuật toán Năm phát triển Dạng Độ phức tạp thời gian Ghi chú Chú thích
Kiểm tra AKS 2002 tất định   [130][133]
Chứng minh đường cong elliptic 1986 Las Vegas  
(theo thực nghiệm)
[132]
Kiểm tra Baillie–PSW 1980 Monte Carlo   [134][135]
Kiểm tra Miller–Rabin 1980 Monte Carlo   xác suất sai số   [136]
Kiểm tra Solovay–Strassen 1977 Monte Carlo   xác suất sai số   [136]

Các thuật toán đặc biệt và số nguyên tố lớn nhất đã biếtSửa đổi

Cùng với các thuật toán nói trên áp dụng được cho bất kỳ số tự nhiên nào, một vài số với dạng đặc biệt còn có thể được kiểm tra tính nguyên tố nhanh hơn. Ví dụ, kiểm tra Lucas–Lehmer có thể xác định được một số Mersenne (lũy thừa của 2 trừ 1) có phải là số nguyên tố hay không một cách tất định với thời gian bằng với một vòng lặp của kiểm tra Miller–Rabin.[137] Đó là lý do kể từ năm 1992 (tính đến tháng 12 năm 2018) số nguyên tố lớn nhất đã biết luôn là một số nguyên tố Mersenne.[138] Có giả thuyết cho rằng có vô số số nguyên tố Mersenne.[139]

Bảng dưới đây liệt kê các số nguyên tố lớn nhất đã biết theo nhiều dạng khác nhau. Một vài trong số đó được tìm thấy qua điện toán phân tán. Năm 2009, dự án Great Internet Mersenne Prime Search đã được trao giải thưởng 100.000 đô la Mỹ cho số nguyên tố đầu tiên có ít nhất 10 triệu chữ số thập phân.[140] Tổ chức Biên giới Điện tử cũng có giải thưởng lần lượt là 150.000 và 250.000 đô la dành cho số nguyên tố có ít nhất 100 triệu và 1 tỷ chữ số.[141]

Dạng số nguyên tố Số nguyên tố Số chữ số Thời gian Tìm ra bởi
Mersenne 282.589.933 − 1 24.862.048 7 tháng 12 năm 2018[142] Patrick Laroche, Great Internet Mersenne Prime Search
Proth 10.223 × 231.172.165 + 1 9.383.761 31 tháng 10 năm 2016[143] Péter Szabolcs, PrimeGrid[1]
Giai thừa 208.003! − 1 1.015.843 Tháng 7 năm 2016 Sou Fukui[144]
Giai thừa nguyên tố[e] 1.098.133# − 1 476.311 Tháng 3 năm 2012 James P. Burt, PrimeGrid[145]
Sinh đôi 2.996.863.034.895 × 21.290.000 ± 1 388.342 Tháng 9 năm 2016 Tom Greer, PrimeGrid[146]

Phân tích số nguyênSửa đổi

Cho một hợp số  , công việc xuất ra một (hoặc tất cả) thừa số nguyên tố được gọi là phân tích của  . Công việc này khó hơn đáng kể so với kiểm tra tính nguyên tố,[147] và mặc dù tồn tại nhiều thuật toán phân tích nhưng chúng đều chậm hơn so với các phương pháp nhanh nhất để kiểm tra tính nguyên tố. Giải thuật chia thử và thuật toán RHO có thể được dùng để tìm các nhân tử rất nhỏ của  ,[121] và thuật toán phân tích bằng đường cong elliptic có thể hiệu quả khi   có các nhân tử lớn vừa phải.[148] Một số phương pháp phù hợp đối với số lớn bất kỳ không phụ thuộc vào độ lớn của nhân tử bao gồm sàng cấp haisàng trường số thông thường. Giống như kiểm tra tính nguyên tố, có một số thuật toán phân tích yêu cầu đầu vào có dạng đặc biệt, trong đó có sàng trường số đặc biệt.[149] Tính đến tháng 2 năm 2020 số lớn nhất được phân tích bằng một thuật toán thông thường là RSA-250, một số có 250 chữ số (829 bit) và là tích của hai số nguyên tố lớn.[150]

Thuật toán Shor cho phép phân tích bất kỳ số nguyên nào với số bước đa thức trong một máy tính lượng tử.[151] Tuy nhiên, với công nghệ hiện nay thì thuật toán này chỉ hoạt động được với các số rất nhỏ. Tính đến tháng 10 năm 2012 số lớn nhất được phân tích bằng thuật toán Shor trong một máy tính lượng tử là 21.[152]

Ứng dụng khác trong điện toánSửa đổi

Một số thuật toán mật mã hóa khóa công khai, chẳng hạn như RSAtrao đổi khóa Diffie−Hellman được dựa trên số nguyên tố lớn (phổ biến nhất là số nguyên tố 2048 bit).[153] RSA dựa vào giả thiết rằng thực hiện phép nhân hai số lớn    dễ hơn nhiều so với khi tính    (giả sử là hai số nguyên tố cùng nhau) nếu chỉ biết một tích  .[32] Trao đổi khóa Diffie−Hellman dựa vào thực tế rằng có một số thuật toán hiệu quả đối với lũy thừa mô đun (tính  ), trong khi phép tính ngược lại (logarit rời rạc) được cho là một bài toán khó.[154]

Số nguyên tố được sử dụng thường xuyên trong bảng băm. Chẳng hạn phương pháp ban đầu của Carter và Wegman đối với băm phổ quát được dựa vào việc tính hàm băm bằng cách chọn ngẫu nhiên hàm tuyến tính mô đun số nguyên tố lớn. Carter và Wegman đã khái quát hóa phương pháp này cho băm  -độc lập bằng cách sử dụng đa thức bậc cao mô đun số nguyên tố lớn.[155] Cũng như trong hàm băm, số nguyên tố được dùng trong kích thước của bảng băm dựa trên dò cấp hai để đảm bảo rằng chuỗi dò bao phủ hết bảng đó.[156]

Một số phương pháp giá trị tổng kiểm được dựa trên kiến thức toán học về số nguyên tố. Chẳng hạn giá trị tổng kiểm dùng trong ISBN được xác định bằng cách lấy tổng của tất cả các chữ số (ngoài chữ số cuối cùng) mô đun 11. Vì 11 là số nguyên tố nên phương pháp này có thể phát hiện các chữ số bị sai và chuyển vị của các chữ số liền kề nhau.[157] Adler-32, một công cụ kiểm tra tổng kiểm khác, sử dụng số học mô đun 65521, số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn  .[158] Số nguyên tố cũng được dùng trong bộ sinh số giả ngẫu nhiên, trong đó có bộ sinh số đồng dư tuyến tính[159]Mersenne Twister.[160]

Các ứng dụng khácSửa đổi

Số nguyên tố là chủ đề trọng tâm của lý thuyết số và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác của toán học, trong đó có đại số trừu tượng và hình học cơ bản. Ví dụ, có thể đặt một số lượng số nguyên tố các điểm trên mặt phẳng hai chiều sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng, hoặc sao cho một tam giác bất kỳ với ba đỉnh là ba trong số các điểm đó có kích thước lớn.[161] Một ví dụ khác là tiêu chuẩn Eisenstein, dùng để kiểm tra xem một đa thức có tối giản hay không dựa vào tính chia hết của các hệ số cho một số nguyên tố và bình phương của nó.[162]

 
Tổng liên kết của hai nút thắt nguyên tố

Khái niệm số nguyên tố quan trọng đến mức nó đã được khái quát hóa sang các nhánh khác của toán học. Thông thường, "nguyên tố" có nghĩa là "tối thiểu" hoặc "không khai triển, phân tích được" trong trường hợp thích hợp. Ví dụ, trường nguyên tố của một trường cho trước là trường con nhỏ nhất của trường đã cho có chứa cả 0 và 1. Nó có thể là trường số hữu tỉ hoặc một trường hữu hạn có số lượng phần tử là số nguyên tố.[163] Một nghĩa thứ hai ám chỉ rằng bất kỳ đối tượng nào cũng đều có một cách phân tích duy nhất thành các thành phần nguyên tố. Chẳng hạn, trong lý thuyết nút thắt, nút thắt nguyên tố là một nút thắt không phân tích được, nghĩa là nó không thể được viết thành tổng liên kết của hai nút thắt không tầm thường. Mỗi nút thắt bất kỳ có một cách biểu diễn duy nhất thành tổng liên kết của các nút thắt nguyên tố.[164] Phân tích nguyên tố của 3-đa tạp là ví dụ khác của dạng này.[165]

Cùng với toán học và điện toán, số nguyên tố có mối liên hệ với cơ học lượng tử và là hình ảnh ẩn dụ trong nghệ thuật và văn học. Chúng cũng có ứng dụng trong sinh học tiến hóa để giải thích vòng đời của liên họ Ve sầu.

Đa giác vẽ được và phân chia đa giácSửa đổi

 
Một ngũ giác đều được vẽ bằng thước thẳng và compa. Tính chất này do 5 là số nguyên tố Fermat.

Số Fermat là những số có dạng

 

với   là số nguyên không âm.[f] Chúng được đặt tên theo Pierre de Fermat, người đã dự đoán rằng tất cả các số dạng này đều là số nguyên tố. Năm số Fermat đầu tiên – 3, 5, 17, 257 và 65.537 – đều là số nguyên tố,[166] nhưng   là hợp số và tương tự với tất cả các số Fermat khác (tính đến năm 2017).[167] Một  -giác đều có thể vẽ được bằng thước thẳng và compa khi và chỉ khi tập hợp các thừa số nguyên tố lẻ của   (nếu có) chỉ gồm các số nguyên tố Fermat.[167] Tương tự, một  -giác đều có thể vẽ được bằng thước, compa và thước góc phần ba khi và chỉ khi tập hợp các thừa số nguyên tố của   có chứa số 2 hoặc số 3 cùng một tập hợp (có thể rỗng) các số nguyên tố Pierpont, số nguyên tố có dạng  .[168]

Có thể chia một đa giác lồi bất kỳ thành   đa giác lồi nhỏ hơn với diện tích và chu vi bằng nhau khi  lũy thừa của một số nguyên tố, nhưng chưa rõ tính chất này ra sao với các giá trị khác của  .[169]

Cơ học lượng tửSửa đổi

Bắt đầu từ công trình của Hugh MontgomeryFreeman Dyson vào những năm 1970, nhiều nhà toán học và vật lý suy đoán rằng nghiệm số của hàm zeta Riemann có liên hệ với mức năng lượng của hệ thống lượng tử.[170][171] Số nguyên tố cũng có ý nghĩa quan trọng trong khoa học thông tin lượng tử nhờ vào các cấu trúc toán học như cơ sở không lệch qua lạiSIC-POVM (độ đo giá trị toán tử dương đối xứng đầy đủ thông tin).[172][173]

Sinh họcSửa đổi

Chu kỳ tiến hóa của liên họ ve sầu chi MagicicadaBắc Mỹ có liên quan đến số nguyên tố.[174] Các côn trùng này sống phần lớn cuộc đời dưới dạng ấu trùng dưới lòng đất. Chúng chỉ phát triển dần và chui lên mặt đất sau 7, 13 hoặc 17 năm, từ đó chúng bay, sinh sản và chết sau nhiều nhất vài tuần. Các nhà sinh học giả thiết rằng tính nguyên tố của chu kỳ sinh sản là để tránh đồng bộ với chu kỳ của động vật ăn thịt.[175][176] Ngược lại, chu kỳ ra hoa nhiều năm của tre được cho là số nhẵn, chỉ có các thừa số nguyên tố nhỏ trong phân tích của nó.[177]

Nghệ thuật và văn họcSửa đổi

Số nguyên tố đã làm ảnh hưởng đến nhiều nghệ sĩ và nhà văn. Nhà soạn nhạc người Pháp Olivier Messiaen sử dụng số nguyên tố để sáng tác nhạc qua "hiện tượng tự nhiên". Trong một số sáng tác như La Nativité du Seigneur (1935) và Quatre études de rythme (1949–1950), ông đồng thời áp dụng nhạc tố với độ dài cho bởi các số nguyên tố khác nhau để tạo những nhịp điệu đặc biệt: số 41, 43, 47 và 53 xuất hiện trong khúc luyện thứ ba "Neumes rythmiques". Theo Messiaen, phong cách sáng tác này "lấy cảm hứng từ vận động tự nhiên, vận động theo hướng tự do và khác biệt".[178]

Trong tiểu thuyết khoa học viễn tưởng Contact (1985), nhà khoa học Carl Sagan gợi ý rằng phân tích nguyên tố có thể được dùng để tạo mặt phẳng ảnh hai chiều khi liên lạc với người ngoài hành tinh, một ý tưởng mà ông cùng nhà thiên văn người Hoa Kỳ Frank Drake phát triển từ năm 1975.[179] Trong tiểu thuyết The Curious Incident of the Dog in the Night-Time (Bí ẩn về con chó lúc nửa đêm) của Mark Haddon, tác giả đánh số các mục của câu chuyện bằng các số nguyên tố liên tiếp để truyền đạt trạng thái tinh thần của nhân vật chính, một cậu bé có năng khiếu toán học mắc hội chứng Asperger.[180] Số nguyên tố là hình ảnh ẩn dụ cho sự cô đơn trong tiểu thuyết La Solitudine dei Numeri Primi (Nỗi cô đơn của các số nguyên tố) của Paolo Giordano, ở đó chúng được mô tả là "người ngoài cuộc" trong các số nguyên.[181]

Xem thêmSửa đổi

Ghi chúSửa đổi

  1. ^ Một số nguyên tố có 44 chữ số do Aimé Ferrier tìm ra vào năm 1951 đến nay vẫn là số nguyên tố lớn nhất được tìm thấy mà không có sự hỗ trợ của máy tính điện tử.[28]
  2. ^ a ă Chẳng hạn, Beiler viết rằng nhà lý thuyết số Ernst Kummer thích số i-đê-an, một loại số có liên hệ gần với số nguyên tố do ông phát triển, "vì chúng không tự làm bẩn chính mình với bất kỳ ứng dụng thực tế nào",[30] và Katz viết rằng Edmund Landau, người được biết đến với công trình về sự phân phối các số nguyên tố, "không thích ứng dụng thực tế của toán học", và vì lý do đó nên ông tránh một số chủ đề như hình học, vốn đã được xem là có ích trong thực tiễn.[31]
  3. ^ Trong kiểm tra này, số hạng   là âm nếu   là một số chính phương mô đun số (giả sử) nguyên tố   đã cho, và là dương trong trường hợp còn lại. Tổng quát hơn, với giá trị   không nguyên tố, số hạng  ký hiệu Jacobi (phủ định), có thể được tính bằng luật tương hỗ bậc hai.
  4. ^ Thật vậy, đa số phân tích về phép chứng minh tính nguyên tố bằng đường cong elliptic đều dựa trên giả thiết rằng đầu vào của nó đã vượt qua được một thuật toán xác suất.[131]
  5. ^ Hàm giai thừa nguyên tố của  , ký hiệu là  , cho giá trị tích của các số nguyên tố lớn đến  , và một số nguyên tố giai thừa nguyên tố là số nguyên tố thuộc một trong các dạng  .[51]
  6. ^ Boklan & Conway (2017) còn liệt kê thêm số  , một số không theo đúng dạng số Fermat.

Chú thíchSửa đổi

  1. ^ a ă Caldwell, Chris K. “The Top Twenty: Largest Known Primes”. The Prime Pages. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  2. ^ Gardiner, Anthony (1997). The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996. Oxford University Press. tr. 26. ISBN 978-0-19-850105-3. 
  3. ^ Henderson, Anne (2014). Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide (ấn bản 2). Routledge. tr. 62. ISBN 978-1-136-63662-2. 
  4. ^ Adler, Irving (1960). The Giant Golden Book of Mathematics: Exploring the World of Numbers and Space. Golden Press. tr. 16. OCLC 6975809. 
  5. ^ Leff, Lawrence S. (2000). Math Workbook for the SAT I. Barron's Educational Series. tr. 360. ISBN 978-0-7641-0768-9. 
  6. ^ Dudley, Underwood (1978). “Section 2: Unique factorization”. Elementary number theory (ấn bản 2). W.H. Freeman and Co. tr. 10. ISBN 978-0-7167-0076-0. 
  7. ^ Sierpiński, Wacław (1988). Elementary Theory of Numbers. North-Holland Mathematical Library 31 (ấn bản 2). Elsevier. tr. 113. ISBN 978-0-08-096019-7. 
  8. ^ a ă Ziegler, Günter M. (2004). “The great prime number record races”. Notices of the American Mathematical Society 51 (4): 414–416. MR 2039814. 
  9. ^ Stillwell, John (1997). Numbers and Geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. tr. 9. ISBN 978-0-387-98289-2. 
  10. ^ Sierpiński, Wacław (1964). A Selection of Problems in the Theory of Numbers. New York: Macmillan. tr. 40. MR 0170843. 
  11. ^ Nathanson, Melvyn B. (2000). “Notations and Conventions”. Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 195. Springer. ISBN 978-0-387-22738-2. MR 1732941. 
  12. ^ Faticoni, Theodore G. (2012). The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas. Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts 111 (ấn bản 2). John Wiley & Sons. tr. 44. ISBN 978-1-118-24382-4. 
  13. ^ Bruins, Evert Marie, bình duyệt trong Mathematical Reviews của Gillings, R.J. (1974). “The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it?”. Archive for History of Exact Sciences 12 (4): 291–298. MR 0497458. doi:10.1007/BF01307175. 
  14. ^ Caldwell, Chris K. “Euclid's Proof of the Infinitude of Primes (c. 300 BC)”. The Prime Pages. University of Tennessee. Truy cập ngày 20 tháng 9 năm 2020. 
  15. ^ a ă Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics (ấn bản 3). Springer. tr. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8. 
  16. ^ a ă Pomerance, Carl (tháng 12 năm 1982). “The Search for Prime Numbers”. Scientific American 247 (6): 136–147. Bibcode:1982SciAm.247f.136P. JSTOR 24966751. doi:10.1038/scientificamerican1282-136. 
  17. ^ a ă â Mollin, Richard A. (2002). “A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)”. Mathematics Magazine 75 (1): 18–29. JSTOR 3219180. MR 2107288. doi:10.2307/3219180. 
  18. ^ O'Connor, John J.; Edmund F. Robertson, “Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham”, Bộ lưu trữ lịch sử toán học MacTutor, Đại học St. Andrews 
  19. ^ Sandifer, C. Edward (2007). How Euler Did It. MAA Spectrum. Mathematical Association of America. tr. 45. ISBN 978-0-88385-563-8. 
  20. ^ Sandifer, C. Edward (2014). How Euler Did Even More. Mathematical Association of America. tr. 42. ISBN 978-0-88385-584-3. 
  21. ^ Koshy, Thomas (2002). Elementary Number Theory with Applications. Academic Press. tr. 369. ISBN 978-0-12-421171-1. 
  22. ^ Yuan, Wang (2002). Goldbach Conjecture. Series In Pure Mathematics 4 (ấn bản 2). World Scientific. tr. 21. ISBN 978-981-4487-52-8. 
  23. ^ Narkiewicz, Wladyslaw (2000). “1.2 Sum of Reciprocals of Primes”. The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer Monographs in Mathematics. Springer. tr. 11. ISBN 978-3-540-66289-1. 
  24. ^ Apostol, Tom M. (2000). “A centennial history of the prime number theorem”. Trong Bambah, R.P.; Dumir, V.C.; Hans-Gill, R.J. Number Theory. Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser. tr. 1–14. MR 1764793. 
  25. ^ Apostol, Tom M. (1976). “7. Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetical Progressions”. Introduction to Analytic Number Theory. New York; Heidelberg: Springer-Verlag. tr. 146–156. MR 0434929. 
  26. ^ Chabert, Jean-Luc (2012). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer. tr. 261. ISBN 978-3-642-18192-4. 
  27. ^ Rosen, Kenneth H. (2000). “Theorem 9.20. Proth's Primality Test”. Elementary Number Theory and Its Applications (ấn bản 4). Addison-Wesley. tr. 342. ISBN 978-0-201-87073-2. 
  28. ^ Cooper, S. Barry; Hodges, Andrew (2016). The Once and Future Turing. Cambridge University Press. tr. 37–38. ISBN 978-1-107-01083-3. 
  29. ^ Rosen 2000, tr. 245
  30. ^ Beiler, Albert H. (1999) [1966]. Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains. Dover. tr. 2. ISBN 978-0-486-21096-4. OCLC 444171535. 
  31. ^ Katz, Shaul (2004). “Berlin roots – Zionist incarnation: the ethos of pure mathematics and the beginnings of the Einstein Institute of Mathematics at the Hebrew University of Jerusalem”. Science in Context 17 (1–2): 199–234. MR 2089305. doi:10.1017/S0269889704000092. 
  32. ^ a ă â Kraft, James S.; Washington, Lawrence C. (2014). Elementary Number Theory. Textbooks in mathematics. CRC Press. tr. 7. ISBN 978-1-4987-0269-0. 
  33. ^ Bauer, Craig P. (2013). Secret History: The Story of Cryptology. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. tr. 468. ISBN 978-1-4665-6186-1. 
  34. ^ Klee, Victor; Wagon, Stan (1991). Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. Dolciani mathematical expositions 11. Cambridge University Press. tr. 224. ISBN 978-0-88385-315-3. 
  35. ^ a ă Neale, Vicky (2017). Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers. Oxford University Press. tr. 18, 47. ISBN 978-0-19-109243-5. 
  36. ^ a ă Caldwell, Chris K.; Reddick, Angela; Xiong, Yeng; Keller, Wilfrid (2012). “The history of the primality of one: a selection of sources”. Journal of Integer Sequences 15 (9): Article 12.9.8. MR 3005523.  Đối với những câu nói chọn lọc của các nhà toán học Hy Lạp về vấn đề này, xem tr. 3–4. Đối với các nhà toán học Hồi giáo, xem tr. 6.
  37. ^ Tarán, Leonardo (1981). Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary. Philosophia Antiqua : A Series of Monographs on Ancient Philosophy 39. Brill. tr. 35–38. ISBN 978-90-04-06505-5. 
  38. ^ Caldwell và đồng nghiệp 2012, tr. 7–13. Đặc biệt xem mục về Stevin, Brancker, Wallis và Prestet.
  39. ^ Caldwell và đồng nghiệp 2012, tr. 15
  40. ^ a ă â Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (2012). “What is the smallest prime?” (PDF). Journal of Integer Sequences 15 (9): Article 12.9.7. MR 3005530. 
  41. ^ Riesel, Hans (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (ấn bản 2). Basel, Switzerland: Birkhäuser. tr. 36. ISBN 978-0-8176-3743-9. MR 1292250. doi:10.1007/978-1-4612-0251-6. 
  42. ^ a ă Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. New York: Copernicus. tr. 129–130. ISBN 978-0-387-97993-9. MR 1411676. doi:10.1007/978-1-4612-4072-3. 
  43. ^ Đối với hàm phi Euler, xem Sierpiński 1988, tr. 245. Đối với hàm tổng các ước số, xem Sandifer 2007, tr. 59.
  44. ^ Smith, Karl J. (2011). The Nature of Mathematics (ấn bản 12). Cengage Learning. tr. 188. ISBN 978-0-538-73758-6. 
  45. ^ Dudley 1978, tr. 16; Neale 2017, tr. 107
  46. ^ du Sautoy, Marcus (2003). The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. Harper Collins. tr. 23. ISBN 978-0-06-093558-0. 
  47. ^ Dudley 1978, tr. 15; Higgins, Peter M. (1998). Mathematics for the Curious. Oxford University Press. tr. 77–78. ISBN 978-0-19-150050-3. 
  48. ^ Rotman, Joseph J. (2000). A First Course in Abstract Algebra (ấn bản 2). Prentice Hall. tr. 56. ISBN 978-0-13-011584-3. 
  49. ^ Thư của Goldbach gửi Euler bằng tiếng Latinh năm 1730 trong Fuss, P. H. biên tập (1843). “Lettre VIII. Goldbach à Euler”. Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle [Thư từ toán học và vật lý của một số nhà hình học nổi tiếng thế kỷ 18]. Saint Petersbourg, Nga: Viện Hàn lâm Khoa học. tr. 32–34. 
  50. ^ Furstenberg, Harry (1955). “On the infinitude of primes”. American Mathematical Monthly 62 (5): 353. JSTOR 2307043. MR 0068566. doi:10.2307/2307043. 
  51. ^ a ă Ribenboim, Paulo (2004). The little book of bigger primes. Berlin; New York: Springer-Verlag. tr. 4. ISBN 978-0-387-20169-6. 
  52. ^ Bộ Cơ sở của Euclid, quyển 9, mệnh đề 20. Xem bản dịch tiếng Anh của David Joyce hoặc Williamson, James (1782). The Elements of Euclid, With Dissertations. Oxford: Clarendon Press. tr. 63. OCLC 642232959. 
  53. ^ Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley. tr. 82–89. ISBN 978-0-201-52989-0. 
  54. ^ a ă â Matiyasevich, Yuri V. (1999). “Formulas for prime numbers”. Trong Tabachnikov, Serge. Kvant Selecta: Algebra and Analysis II. American Mathematical Society. tr. 13–24. ISBN 978-0-8218-1915-9. 
  55. ^ Mackinnon, Nick (tháng 6 năm 1987). “Prime number formulae”. The Mathematical Gazette 71 (456): 113–114. JSTOR 3616496. doi:10.2307/3616496. 
  56. ^ Wright, E.M. (1951). “A prime-representing function”. American Mathematical Monthly 58 (9): 616–618. JSTOR 2306356. doi:10.2307/2306356. 
  57. ^ Guy, Richard (2013). Unsolved Problems in Number Theory. Problem Books in Mathematics. Springer. tr. vii. ISBN 978-0-387-26677-0. 
  58. ^ Guy 2013, tr. 105–107
  59. ^ Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2014). “Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to  ”. Mathematics of Computation 83 (288): 2033–2060. MR 3194140. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1. 
  60. ^ Tao, Terence (2009). “3.1 Structure and randomness in the prime numbers”. Poincaré's legacies, pages from year two of a mathematical blog. Part I. Providence, RI: American Mathematical Society. tr. 239–247. ISBN 978-0-8218-4883-8. MR 2523047.  Đặc biệt xem tr. 239.
  61. ^ Guy 2013, tr. 159
  62. ^ Ramaré, Olivier (1995). “On Šnirel'man's constant” (PDF). Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa 22 (4): 645–706. MR 1375315. 
  63. ^ Rassias, Michael Th. (2017). Goldbach's Problem: Selected Topics. Cham: Springer. tr. vii. ISBN 978-3-319-57912-2. MR 3674356. doi:10.1007/978-3-319-57914-6. 
  64. ^ Koshy 2002, tr. 109. Riesel 1994 cũng có lập luận tương tự sử dụng giai thừa nguyên tố thay vì giai thừa.
  65. ^ a ă Riesel 1994, tr. 78–79
  66. ^ “Sloane's A100964 : Smallest prime number that begins a prime gap of at least 2n”. Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến. Tổ chức OEIS. 
  67. ^ a ă â Ribenboim 2004, tr. 186–192
  68. ^ a ă Ribenboim 2004, tr. 183
  69. ^ Chan, Joel (tháng 2 năm 1996). “Prime time!”. Math Horizons 3 (3): 23–25. JSTOR 25678057. doi:10.1080/10724117.1996.11974965.  Chú ý rằng Chan viết giả thuyết Legendre thành "tiên đề Sierpinski".
  70. ^ Ribenboim 2004, tr. 201–202
  71. ^ Sandifer 2007, tr. 205–208
  72. ^ Ogilvy, C.S.; Anderson, J.T. (1988). Excursions in Number Theory. Dover Publications Inc. tr. 29–35. ISBN 978-0-486-25778-5. 
  73. ^ Apostol 1976, mục 1.6, định lý 1.13
  74. ^ Apostol 1976, mục 4.8, định lý 4.12
  75. ^ a ă Miller, Steven J.; Takloo-Bighash, Ramin (2006). An Invitation to Modern Number Theory. Princeton University Press. tr. 43–44. ISBN 978-0-691-12060-7. 
  76. ^ Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005). Prime Numbers: A Computational Perspective (ấn bản 2). Springer. tr. 6. ISBN 978-0-387-25282-7. 
  77. ^ Crandall & Pomerance 2005, tr. 152–162
  78. ^ a ă Crandall & Pomerance 2005, tr. 10
  79. ^ du Sautoy, Marcus (2011). “What are the odds that your telephone number is prime?”. The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life. St. Martin's Press. tr. 50–52. ISBN 978-0-230-12028-0. 
  80. ^ Apostol 1976, mục 4.6, định lý 4.7
  81. ^ Gelfand, I.M.; Shen, Alexander (2003). Algebra. Springer. tr. 37. ISBN 978-0-8176-3677-7. 
  82. ^ Mollin, Richard A. (1997). Fundamental Number Theory with Applications. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. tr. 76. ISBN 978-0-8493-3987-5. 
  83. ^ Crandall & Pomerance 2005, tr. 12
  84. ^ Green, Ben; Tao, Terence (2008). “The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions”. Annals of Mathematics 167 (2): 481–547. arXiv:math.NT/0404188. doi:10.4007/annals.2008.167.481. 
  85. ^ Hua, L.K. (2009) [1965]. Additive Theory of Prime Numbers. Translations of Mathematical Monographs 13. Providence, RI: American Mathematical Society. tr. 176–177. ISBN 978-0-8218-4942-2. MR 0194404. OCLC 824812353. 
  86. ^ Dãy các giá trị nguyên tố này, bắt đầu tại   thay vì  , có trong Lava, Paolo Pietro; Balzarotti, Giorgio (2010). “Chapter 33. Formule fortunate”. 103 curiosità matematiche: Teoria dei numeri, delle cifre e delle relazioni nella matematica contemporanea (bằng tiếng Italy). Ulrico Hoepli Editore S.p.A. tr. 133. ISBN 978-88-203-5804-4. 
  87. ^ Chamberland, Marc (2015). “The Heegner numbers”. Single Digits: In Praise of Small Numbers. Princeton University Press. tr. 213–215. ISBN 978-1-4008-6569-7. 
  88. ^ a ă Guy 2013, tr. 7–10
  89. ^ Patterson, S.J. (1988). An introduction to the theory of the Riemann zeta-function. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 14. Cambridge University Press, Cambridge. tr. 1. ISBN 978-0-521-33535-5. MR 933558. doi:10.1017/CBO9780511623707. 
  90. ^ Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (2008). The Riemann hypothesis: A resource for the afficionado and virtuoso alike. CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC. New York: Springer. tr. 10–11. ISBN 978-0-387-72125-5. MR 2463715. doi:10.1007/978-0-387-72126-2. 
  91. ^ Sandifer 2007, tr. 191–193
  92. ^ Borwein và đồng nghiệp 2008, tr. 15
  93. ^ Patterson 1988, tr. 7
  94. ^ a ă Borwein và đồng nghiệp 2008, tr. 18
  95. ^ Nathanson 2000, tr. 289–324
  96. ^ Zagier, Don (1977). “The first 50 million prime numbers”. The Mathematical Intelligencer 1 (S2): 7–19. doi:10.1007/bf03351556.  Đặc biệt xem tr. 14–16.
  97. ^ Kraft & Washington 2014, tr. 96
  98. ^ Shahriari, Shahriar (2017). Algebra in Action: A Course in Groups, Rings, and Fields. Pure and Applied Undergraduate Texts 27. American Mathematical Society. tr. 20–21. ISBN 978-1-4704-2849-5. 
  99. ^ Dudley 1978, tr. 28
  100. ^ Shahriari 2017, tr. 27–28
  101. ^ Ribenboim 2004, tr. 17–21
  102. ^ Ribenboim 2004, tr. 21–22
  103. ^ Ribenboim 2004, tr. 21
  104. ^ a ă â Childress, Nancy (2009), Class Field Theory, Universitext, Springer, New York, tr. 8–11, ISBN 978-0-387-72489-8, MR 2462595, doi:10.1007/978-0-387-72490-4 . Xem thêm tr. 64.
  105. ^ Erickson, Marty; Vazzana, Anthony; Garth, David (2016). Introduction to Number Theory. Textbooks in Mathematics (ấn bản 2). Boca Raton, FL: CRC Press. tr. 200. ISBN 978-1-4987-1749-6. MR 3468748. 
  106. ^ Weil, André (1995). Basic Number Theory. Classics in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag. tr. 43. ISBN 978-3-540-58655-5. MR 1344916.  Chú ý rằng một số tác giả như Childress (2009) sử dụng thuật ngữ "vị trí" để chỉ một lớp chuẩn tương đương.
  107. ^ Koch, H. (1997). Algebraic Number Theory. Berlin: Springer-Verlag. tr. 136. ISBN 978-3-540-63003-6. MR 1474965. doi:10.1007/978-3-642-58095-6. 
  108. ^ Lauritzen, Niels (2003). Concrete Abstract Algebra: From numbers to Gröbner bases. Cambridge: Cambridge University Press. tr. 127. ISBN 978-0-521-53410-9. MR 2014325. doi:10.1017/CBO9780511804229. 
  109. ^ Lauritzen 2003, tr. 133, 136
  110. ^ Kraft & Washington 2014, tr. 297–301
  111. ^ Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics 150. Berlin; New York: Springer-Verlag. Mục 3.3. ISBN 978-0-387-94268-1. MR 1322960. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. 
  112. ^ Shafarevich, Igor R. (2013). “Definition of  . Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds (ấn bản 3). Springer, Heidelberg. tr. 5. ISBN 978-3-642-38009-9. MR 3100288. doi:10.1007/978-3-642-38010-5. 
  113. ^ Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Nguyên tắc cơ bản của khoa học toán học] 322. Berlin: Springer-Verlag. tr. 50. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. 
  114. ^ Neukirch 1999, tr. 38
  115. ^ Stevenhagen, P.; Lenstra, H.W., Jr. (1996). “Chebotarëv and his density theorem”. The Mathematical Intelligencer 18 (2): 26–37. MR 1395088. doi:10.1007/BF03027290. 
  116. ^ Hall, Marshall (2018). The Theory of Groups. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-81690-6.  Đối với định lý Sylow, xem tr. 43; với định lý Lagrange, xem tr. 12; với định lý Burnside, xem tr. 143.
  117. ^ Bryant, John; Sangwin, Christopher J. (2008). How Round is Your Circle?: Where Engineering and Mathematics Meet. Princeton University Press. tr. 178. ISBN 978-0-691-13118-4. 
  118. ^ Hardy, Godfrey Harold (2012) [1940]. A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. tr. 140. ISBN 978-0-521-42706-7. OCLC 922010634. No one has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory of numbers or relativity, and it seems unlikely that anyone will do so for many years. 
  119. ^ Giblin, Peter (1993). Primes and Programming. Cambridge University Press. tr. 39. ISBN 978-0-521-40988-9. 
  120. ^ Giblin 1993, tr. 54
  121. ^ a ă Riesel 1994, tr. 220
  122. ^ Bullynck, Maarten (2010). “A history of factor tables with notes on the birth of number theory 1657–1817”. Revue d'Histoire des Mathématiques 16 (2): 133–216. 
  123. ^ Wagstaff, Samuel S. Jr. (2013). The Joy of Factoring. Student mathematical library 68. American Mathematical Society. tr. 191. ISBN 978-1-4704-1048-3. 
  124. ^ Crandall & Pomerance 2005, tr. 121
  125. ^ Farach-Colton, Martín; Tsai, Meng-Tsung (2015). “On the complexity of computing prime tables”. Trong Elbassioni, Khaled; Makino, Kazuhisa. Algorithms and Computation: 26th International Symposium, ISAAC 2015, Nagoya, Japan, December 9-11, 2015, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science 9472. Springer. tr. 677–688. arXiv:1504.05240. doi:10.1007/978-3-662-48971-0_57. 
  126. ^ Greaves, George (2013). Sieves in Number Theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge) 43. Springer. tr. 1. ISBN 978-3-662-04658-6. 
  127. ^ a ă Hromkovič, Juraj (2001). “5.5 Bibliographic Remarks”. Algorithmics for Hard Problems. Texts in Theoretical Computer Science. An EATCS Series. Springer-Verlag, Berlin. tr. 383–385. ISBN 978-3-540-66860-2. MR 1843669. doi:10.1007/978-3-662-04616-6. 
  128. ^ a ă Koblitz, Neal (1987). “Chapter V. Primality and Factoring”. A Course in Number Theory and Cryptography. Graduate Texts in Mathematics 114. Springer-Verlag, New York. tr. 112–149. ISBN 978-0-387-96576-5. MR 910297. doi:10.1007/978-1-4684-0310-7_5. 
  129. ^ Pieprzyk, Josef; Hardjono, Thomas; Seberry, Jennifer (2013). “2.3.9 Probabilistic Computations”. Fundamentals of Computer Security. Springer. tr. 51–52. ISBN 978-3-662-07324-7. 
  130. ^ a ă Tao, Terence (2010). “1.11 The AKS primality test”. An epsilon of room, II: Pages from year three of a mathematical blog. Graduate Studies in Mathematics 117. Providence, RI: American Mathematical Society. tr. 82–86. ISBN 978-0-8218-5280-4. MR 2780010. doi:10.1090/gsm/117. 
  131. ^ a ă Atkin, A. O. L.; Morain, F. (1993). “Elliptic curves and primality proving” (PDF). Mathematics of Computation 61 (203): 29–68. JSTOR 2152935. MR 1199989. doi:10.1090/s0025-5718-1993-1199989-x. 
  132. ^ a ă Morain, F. (2007). “Implementing the asymptotically fast version of the elliptic curve primality proving algorithm”. Mathematics of Computation 76 (257): 493–505. Bibcode:2007MaCom..76..493M. MR 2261033. arXiv:math/0502097. doi:10.1090/S0025-5718-06-01890-4. 
  133. ^ Lenstra, Jr., H.W.; Pomerance, Carl (2019). “Primality testing with Gaussian periods” (PDF). Journal of the European Mathematical Society 21 (4): 1229–1269. MR 3941463. doi:10.4171/JEMS/861. 
  134. ^ Pomerance, Carl; Selfridge, John L.; Wagstaff, Samuel S. Jr. (tháng 7 năm 1980). “The pseudoprimes to 25·109 (PDF). Mathematics of Computation 35 (151): 1003–1026. JSTOR 2006210. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0572872-7. 
  135. ^ Baillie, Robert; Wagstaff, Samuel S. Jr. (tháng 10 năm 1980). “Lucas Pseudoprimes” (PDF). Mathematics of Computation 35 (152): 1391–1417. JSTOR 2006406. MR 583518. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0583518-6. 
  136. ^ a ă Monier, Louis (1980). “Evaluation and comparison of two efficient probabilistic primality testing algorithms”. Theoretical Computer Science 12 (1): 97–108. MR 582244. doi:10.1016/0304-3975(80)90007-9. 
  137. ^ Tao 2009, tr. 36–41
  138. ^ Kraft & Washington 2014, tr. 41
  139. ^ Chẳng hạn xem Guy 2013, tr. 13–21
  140. ^ “Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize”. Tổ chức Biên giới Điện tử. 14 tháng 10 năm 2009. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  141. ^ “EFF Cooperative Computing Awards”. Tổ chức Biên giới Điện tử. 29 tháng 2 năm 2008. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  142. ^ “GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1”. Mersenne Research, Inc. 21 tháng 12 năm 2018. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  143. ^ “PrimeGrid's Seventeen or Bust Subproject” (PDF). Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  144. ^ Caldwell, Chris K. “The Top Twenty: Factorial”. The Prime Pages. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  145. ^ Caldwell, Chris K. “The Top Twenty: Primorial”. The Prime Pages. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  146. ^ Caldwell, Chris K. “The Top Twenty: Twin Primes”. The Prime Pages. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  147. ^ Kraft & Washington 2014, tr. 275
  148. ^ Hoffstein, Jeffrey; Pipher, Jill; Silverman, Joseph H. (2014). An Introduction to Mathematical Cryptography. Undergraduate Texts in Mathematics (ấn bản 2). Springer. tr. 329. ISBN 978-1-4939-1711-2. 
  149. ^ Pomerance, Carl (1996). “A tale of two sieves”. Notices of the American Mathematical Society 43 (12): 1473–1485. MR 1416721. 
  150. ^ Zimmermann, Paul (28 tháng 2 năm 2020). “Factorization of RSA-250”. Danh sách thư cado-nfs-discuss. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  151. ^ Rieffel, Eleanor G.; Polak, Wolfgang H. (2011). “Chapter 8. Shor's Algorithm”. Quantum Computing: A Gentle Introduction. MIT Press. tr. 163–176. ISBN 978-0-262-01506-6. 
  152. ^ Martín-López, Enrique; Laing, Anthony; Lawson, Thomas; Alvarez, Roberto; Zhou, Xiao-Qi; O'Brien, Jeremy L. (12 tháng 10 năm 2012). “Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using qubit recycling”. Nature Photonics 6 (11): 773–776. Bibcode:2012NaPho...6..773M. arXiv:1111.4147. doi:10.1038/nphoton.2012.259. 
  153. ^ Chirgwin, Richard (9 tháng 10 năm 2016). “Crypto needs more transparency, researchers warn”. The Register. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  154. ^ Hoffstein, Pipher & Silverman 2014, tr. 65–67
  155. ^ Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001) [1990]. “11.3 Universal hashing”. Introduction to Algorithms (ấn bản 2). MIT Press và McGraw-Hill. tr. 232–236. ISBN 0-262-03293-7.  Đối với băm  -độc lập xem bài toán 11–4, tr. 251. Đối với phần ghi công Carter và Wegman xem chú thích chương, tr. 252.
  156. ^ Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto (2006). Data Structures & Algorithms in Java (ấn bản 4). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-73884-8.  Xem "Quadratic probing", tr. 382, và bài tập C–9.9, tr. 415.
  157. ^ Kirtland, Joseph (2001). Identification Numbers and Check Digit Schemes. Classroom Resource Materials 18. Mathematical Association of America. tr. 43–44. ISBN 978-0-88385-720-5. 
  158. ^ Deutsch, P. (1996). ZLIB Compressed Data Format Specification version 3.3. Request for Comments 1950. Network Working Group. 
  159. ^ Knuth, Donald E. (1998). “3.2.1 The linear congruential model”. The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical algorithms (ấn bản 3). Addison-Wesley. tr. 10–26. ISBN 978-0-201-89684-8. 
  160. ^ Matsumoto, Makoto; Nishimura, Takuji (1998). “Mersenne Twister: A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudo-random number generator”. ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation 8 (1): 3–30. doi:10.1145/272991.272995. 
  161. ^ Roth, K.F. (1951). “On a problem of Heilbronn”. Journal of the London Mathematical Society. Second Series 26 (3): 198–204. MR 0041889. doi:10.1112/jlms/s1-26.3.198. 
  162. ^ Cox, David A. (2011). “Why Eisenstein proved the Eisenstein criterion and why Schönemann discovered it first” (PDF). American Mathematical Monthly 118 (1): 3–31. doi:10.4169/amer.math.monthly.118.01.003. 
  163. ^ Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics 211. Berlin; New York: Springer-Verlag. tr. 90. ISBN 978-0-387-95385-4. MR 1878556. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. 
  164. ^ Schubert, Horst (1949). “Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten”. S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949 (3): 57–104. MR 0031733. 
  165. ^ Milnor, J. (1962). “A unique decomposition theorem for 3-manifolds”. American Journal of Mathematics 84 (1): 1–7. JSTOR 2372800. MR 0142125. doi:10.2307/2372800. 
  166. ^ Křížek, Michal; Luca, Florian; Somer, Lawrence (2001). 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry. CMS Books in Mathematics 9. New York: Springer-Verlag. tr. 1–2. ISBN 978-0-387-95332-8. MR 1866957. doi:10.1007/978-0-387-21850-2. 
  167. ^ a ă Boklan, Kent D.; Conway, John H. (tháng 1 năm 2017). “Expect at most one billionth of a new Fermat prime!”. The Mathematical Intelligencer 39 (1): 3–5. arXiv:1605.01371. doi:10.1007/s00283-016-9644-3. 
  168. ^ Gleason, Andrew M. (1988). “Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon”. American Mathematical Monthly 95 (3): 185–194. JSTOR 2323624. MR 935432. doi:10.2307/2323624. 
  169. ^ Ziegler, Günter M. (2015). “Cannons at sparrows”. European Mathematical Society Newsletter (95): 25–31. MR 3330472. 
  170. ^ Peterson, Ivars (28 tháng 6 năm 1999). “The Return of Zeta”. MAA Online. Bản gốc lưu trữ ngày 5 tháng 11 năm 1999. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  171. ^ Hayes, Brian (2003). “Computing science: The spectrum of Riemannium”. American Scientist 91 (4): 296–300. JSTOR 27858239. doi:10.1511/2003.26.3349. 
  172. ^ Bengtsson, Ingemar; Życzkowski, Karol (2017). Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement (ấn bản 2). Cambridge: Cambridge University Press. tr. 313–354. ISBN 978-1-107-02625-4. OCLC 967938939. 
  173. ^ Zhu, Huangjun (2010). “SIC POVMs and Clifford groups in prime dimensions” (PDF). Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 43 (30): 305305. Bibcode:2010JPhA...43D5305Z. arXiv:1003.3591. doi:10.1088/1751-8113/43/30/305305. 
  174. ^ Goles, E.; Schulz, O.; Markus, M. (2001). “Prime number selection of cycles in a predator-prey model”. Complexity 6 (4): 33–38. Bibcode:2001Cmplx...6d..33G. doi:10.1002/cplx.1040. 
  175. ^ Campos, Paulo R.A.; de Oliveira, Viviane M.; Giro, Ronaldo; Galvão, Douglas S. (2004). “Emergence of prime numbers as the result of evolutionary strategy”. Physical Review Letters 93 (9): 098107. Bibcode:2004PhRvL..93i8107C. PMID 15447148. arXiv:q-bio/0406017. doi:10.1103/PhysRevLett.93.098107. 
  176. ^ “Invasion of the Brood”. The Economist. 6 tháng 5 năm 2004. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  177. ^ Zimmer, Carl (15 tháng 5 năm 2015). “Bamboo Mathematicians”. Phenomena: The Loom. National Geographic. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  178. ^ Hill, Peter Jensen biên tập (1995). The Messiaen companion. Portland, OR: Amadeus Press. Ex. 13.2 Messe de la Pentecôte 1 'Entrée'. ISBN 978-0-931340-95-6. 
  179. ^ Pomerance, Carl (2004). “Prime Numbers and the Search for Extraterrestrial Intelligence” (PDF). Trong Hayes, David F.; Ross, Peter. Mathematical Adventures for Students and Amateurs. MAA Spectrum. Washington, DC: Mathematical Association of America. tr. 3–6. ISBN 978-0-88385-548-5. MR 2085842. 
  180. ^ GrrlScientist (16 tháng 9 năm 2010). “The Curious Incident of the Dog in the Night-Time”. Science. The Guardian. Truy cập ngày 3 tháng 8 năm 2020. 
  181. ^ Schillinger, Liesl (9 tháng 4 năm 2010). “Counting on Each Other”. Sunday Book Review. The New York Times. 

Liên kết ngoàiSửa đổi