Trong toán họckhoa học máy tính, hàm floorceiling là các quy tắc cho tương ứng một số thực vào một số nguyên gần nhất bên trái và bên phải số đã cho. Vậy floor(x) là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, còn ceiling(x) là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn x.

Các hàm Floor và ceiling
Hàm Floor
Hàm Ceiling

Ký hiệuSửa đổi

Gauss giới thiệu cặp ngoặc vuông [x] cho hàm floor trong tương hỗ bậc hai (1808).[1] Nó vẫn là ký hiệu tiêu chuẩn[2] trong toán học cho đến khi Iverson giới thiệu các hàm "floor" và "ceiling" với các ký hiệu    vào năm 1962 trong ngôn ngữ lập trình APL của ông ấy.[3][4] Bây giờ cả hai cách ký hiệu vẫn đang được dùng trong toán học.

Ví dụSửa đổi

x Floor(x)   Ceiling(x)   Phần lẻ  
−2.7 −3 −2 0.3
−2 −2 −2 0
12/5 = 2.4 2 3 2/5 = 0.4
2.7 2 3 0.7

Đọc phần bên dưới để biết thêm về định nghĩa phần lẻ.

Định nghĩa và tính chấtSửa đổi

Trong những công thức dưới đây xy là các số thực, k, m, và n là các số nguyên, và   là tập hợp số nguyên (số dương, số âm, và không).

Floor và ceiling có thể được định nghĩa bằng tập hợp như sau

 
 

Trong nửa khoảng có độ dài bằng một có duy nhất một số nguyên, vậy với số thực x tùy ý, có duy nhất cặp m, n thỏa mãn:

 

Khi đó    có thể là định nghĩa cho các hàm floor và ceiling.

Phần lẻ x ký hiệu   là hàm số định nghĩa theo công thức sau,   và toán tử mô-đun được định nghĩa theo công thức:  

Tương đươngSửa đổi

Các công thức dưới đây dùng để rút gọn các biểu thức chứa các hàm floor, ceiling.[5]

 

In the language of order theory, the floor function is a residuated mapping, that is, part of a Galois connection: it is the upper adjoint of the function that embeds the integers into the reals.

 

Các công thức dưới đây đưa ra quy tắc khi cộng thêm một số nguyên vào các hàm phần nguyên như thế nào:

 

Các công thức trên không đúng nếu n không phải số nguyên, tuy vậy:

 

Mối liên hệ giữa các hàmSửa đổi

Từ định nghĩa dễ dàng có được

  dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x là số nguyên, i.e.
 

n là số nguyên thì:

 

Khi số âm là đối số thì đổi các hàm floor và ceil đồng thời đưa dấu trừ ra ngoài:

  tức là:
 
 
 
 

Về phần lẻ:

 

Floor, ceiling, và phần lẻ là hàm idempotent:

 

Dễ thấy các đẳng thức sau là đúng:

 

Với y có định thì, x mod y là hàm idempotent:

 

Cũng từ định nghĩa ta có,

 

Phép chiaSửa đổi

Nếu n ≠ 0,

 

Nếu n > 0,

 
 

Nếu m > 0,

 
 

Với m = 2:

 

Tổng quát,[6] với m > 0,

 
 

Biểu thức dưới đây dùng để chuyển đổi floor sang ceiling và ngược lại (m > 0)[7]

 
 

Nếu mn là các số nguyên dươngnguyên tố cùng nhau, thì

 

Vì vế phải của biểu thức trên đối xứng theo mn, vậy nên ta có biểu thức dưới đây

 

Tổng quát, nếu mn nguyên dương:

 

Cho các số nguyên dương m, n và số thực ngẫu nhiên x:

 
 

Sự liên tụcSửa đổi

Không có hàm nào chúng ta đang xét là liên tục cả, nhưng đều tuyến tính trên từng đoạn.   hàm hằng trên từng đoạn và gián đoạn tại các điểm nguyên. Hàm   cũng gián đoạn tại các điểm nguyên, và   với biến x hằng y gián đoạn tại các bội của y.

 bán liên tục trên còn    là bán liên tục dưới. x mod y là bán liên tục dưới với y dương và là bán liên tục trên với y âm.

Khai triển chuỗiSửa đổi

Các hàm chúng ta đang xét đều không liên tục vì thế chúng không có các khai triển chuỗi lũy thừa. Hàm floor và ceiling không liên tục nên không có khai triển Fourier.

Với y cố định, x mod y có khai triển Fourier [8]

 

Phần lẻ {x} = x mod 1 khai triển:

 

Dùng công thức {x} = x − floor(x), floor(x) = x − {x} ta có

 

Ứng dụngSửa đổi

Phần lẻSửa đổi

Hàm phần lẻhàm răng cưa, ký hiệu   với x là số thực, được định nghĩa bởi công thức[9]

 

Với mọi x,

 

Với x>0 trong dạng thập phân, floor(x) là phần bên trái của biểu diễn thập phân, phần lẻ của x là phần bên phải khi thay tất cả các số bên trái bởi 0.

Toán tử modSửa đổi

Toán tử mod, ký hiệu là x mod y,x, y thực, y ≠ 0, xác định theo công thức

 

x mod y luôn nằm giữa 0 và y; i.e.

Nếu y > 0,

 

còn nếu y < 0,

 

Nếu x nguyên còn y nguyên dương,

 

x mod y với y có định là hàm răng cưa.

Quadratic reciprocitySửa đổi

Gauss's third proof of quadratic reciprocity, as modified by Eisenstein, has two basic steps.[10][11]

Let p and q be distinct positive odd prime numbers, and let

 

First, Gauss's lemma is used to show that the Legendre symbols are given by

 

and

 

The second step is to use a geometric argument to show that

 

Combining these formulas gives quadratic reciprocity in the form

 

There are formulas that use floor to express the quadratic character of small numbers mod odd primes p:[12]

 
 

Làm trònSửa đổi

Việc làm tròn các số dương x đến số nguyên gần nhất được diễn tả như sau  

Số các chữ sốSửa đổi

Số các chữ số trong hệ cơ số b của số nguyên dương k

 

Thừa số của giai thừaSửa đổi

đặt n nguyên dương và psố nguyên tố. Lũy thừa của p trong khai triển của n! được cho bởi công thức[13]

 

Chú ý rằng đó là tổng có giới hạn, số hạng bằng không khi pk > n.

Beatty sequenceSửa đổi

Beatty sequence shows how every positive irrational number gives rise to a partition of the natural numbers into two sequences via the floor function.[14]

Hằng số Euler γSửa đổi

Đây là những công thức cho Hằng số Euler γ = 0.57721 56649... chứa các hàm floor và ceiling, e.g.[15]

 
 

 

Hàm Riemann ζSửa đổi

Các công thức cho số nguyên tốSửa đổi

n là số nguyên tố khi và chỉ khi[16]

 

r là số nguyên lớn hơn 1, pn là số nguyên tố thứ n, ký hiệu

 

Thì[17]

 

Có số θ = 1.3064... với tính chất

 

đều là số nguyên tố.[18]

Cũng có thêm số ω = 1.9287800... mà

 

đều nguyên tố.[18]

π(x) là số các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng x. Nó được suy luận từ Định lý Wilson[19]

 

Nếu n ≥ 2,[20]

 

Không công thức nào trên đây ứng dụng thực tế.

Vấn đề đã giải quyếtSửa đổi

Ramanujan đã gửi các bài toán sau đây đến Journal of the Indian Mathematical Society.[21]

Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng:

 
 
 

Vấn đề chưa giải quyếtSửa đổi

Có số nguyên dương k nào thỏa mãn, k ≥ 6, mà:[22]

 

Mahler[23] đã chứng minh chỉ có hữu hạn số k như vậy; tuy nhiên người ta vẫn chưa biết số nào như vậy.

Xem thêmSửa đổi

Chú thíchSửa đổi

  1. ^ Lemmermeyer, pp. 10, 23
  2. ^ e.g. Cassels, Hardy & Wright, and Ribenboim use Gauss's notation, Graham, Knuth & Patashnik, and Crandall & Pomerance use Iverson's
  3. ^ Higham, p. 25
  4. ^ Iverson
  5. ^ Graham, Knuth, & Patashink, Ch. 3
  6. ^ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85 and Ex. 3.15
  7. ^ Graham, Knuth, & Patashnik, Ex. 3.12
  8. ^ Titchmarsh, p. 15, Eq. 2.1.7
  9. ^ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 70
  10. ^ Lemmermeyer, § 1.4, Ex. 1.32–1.33
  11. ^ Hardy & Wright, §§ 6.11–6.13
  12. ^ Lemmermeyer, p. 25
  13. ^ Hardy & Wright, Th. 416
  14. ^ Graham, Knuth, & Patashnik, pp. 77–78
  15. ^ These formulas are from the Wikipedia article Euler's constant, which has many more.
  16. ^ Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46
  17. ^ Hardy & Wright, § 22.3
  18. ^ a ă Ribenboim, p. 186
  19. ^ Ribenboim, p. 181
  20. ^ Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46
  21. ^ Ramanujan, Question 723, Papers p. 332
  22. ^ Hardy & Wright, p. 337
  23. ^ Mahler, K. On the fractional parts of the powers of a rational number II, 1957, Mathematika, 4, pages 122-124

Tham khảoSửa đổi

  • J.W.S. Cassels (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics 45. Cambridge University Press. 
  • Crandall, Richard; Pomeramce, Carl (2001), Prime Numbers: A Computational Perspective, New York: Springer, ISBN 0-387-04777-9 Kiểm tra giá trị |isbn= (trợ giúp) 
  • Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics, Reading Ma.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5 
  • Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0198531715 
  • Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. ISBN 0898714206, p. 25
  • ISO/IEC. ISO/IEC 9899::1999(E): Programming languages — C (2nd ed), 1999; Section 6.3.1.4, p. 43.
  • Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language, Wiley 
  • Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, ISBN 3-540-66967-4 Kiểm tra giá trị |isbn= (trợ giúp) 
  • Ramanujan, Srinivasa (2000), Collected Papers, Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0821820766 
  • Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5 
  • Michael Sullivan. Precalculus, 8th edition, p. 86
  • Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986), The Theory of the Riemann Zeta-function (ấn bản 2), Oxford: Oxford U. P., ISBN 0-19-853369-1 

Liên kết ngoàiSửa đổi

  • Štefan Porubský, "Integer rounding functions", Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics, Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic, retrieved 10/24/2008