Trong lý thuyết số, hàm số Euler của một số nguyên dương n được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n nguyên tố cùng nhau với n. Hàm Euler được ký hiệu bởi hoặc , do đó hàm được gọi làm hàm phi Euler.

1000 giá trị đầu tiên của

Chẳng hạn, vì có sáu số 1, 2, 4, 5, 7 và 8 là nguyên tố cùng nhau với 9.

Hàm số trong tiếng Anh còn được gọi là hàm "totient".

Hàm này thường được gọi là hàm số Euler, theo tên nhà toán học Thụy Sĩ Leonhard Euler, người đã nghiên cứu nó và ký hiệu nó bằng chữ cái Hy Lạp Phi (). Đối totient của n được định nghĩa là , nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n mà không nguyên tố với n.

Hàm phi có nhiều ứng dụng vì nó là kích thước của nhóm nhân các số nguyên modulo n. Quan trọng hơn là cấp của nhóm các đơn vị trong vành có đơn vị .

Tính giá trị hàm phi EulerSửa đổi

Công thứcSửa đổi

Từ định nghĩa chúng ta có  , và   với n là lũy thừa bậc k của số nguyên tố p. Ngoài ra,   là một hàm nhân tính; nếu mn là nguyên tố cùng nhau thì  . (Tóm lược chứng minh: gọi A, B, C là các tập hợp các lớp đồng dư tương ứng theo các modulo m, n, mn; khi đó có một song ánh giữa   , (theo [[định lý số dư Trung Quốc]]).) Giá trị của   có thể tính được khi sử dụng định lý cơ bản của số học:

Nếu
 

trong đó các   là các số nguyên tố phân biệt, thì

 

Công thức này là một tích Euler và thường được viết là

 

với tích chạy qua các số nguyên tố   là ước của  .

Ví dụSửa đổi

 

Một số giá trịSửa đổi

  +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
0+   1 1 2 2 4 2 6 4 6
10+ 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18
20+ 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28
30+ 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24
40+ 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42
50+ 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58
60+ 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44
70+ 24 70 24 72 36 40 36 60 24 78
80+ 32 54 40 82 24 64 42 56 40 88
90+ 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60

Các tính chấtSửa đổi

Số   cũng bằng số các phần tử sinh có thể của nhóm cyclic   (và do đó cũng là bậc của đa thức cyclotomic  ). Từ đó mọi phần tử của   sinh ra một nhóm con cyclic của   va có dạng   trong đó d là ước số của n (ký hiệu  ), ta có

 

trong đó tổng trải trên tất cả các ước dương d của n.

Chúng ta cũng có thể sử dụng công thức đảo ngược Möbius để "đảo ngược" tổng này và được một công thức khác đối với hàm  :

 

trong đó  hàm Möbius xác định trên các số nguyên dương.

Theo Định lý Euler, nếu a nguyên tố cùng nhau với n, nghĩa là, ƯCLN(a,n) = 1, thì

 

Điều này suy ra từ Định lý Lagrange và từ việc a thuộc nhóm nhân modulo   nếu và chỉ nếu a nguyên tố cùng nhau với n.

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi