Trong lý thuyết vành, một nhánh của đại số trừu tượng, i-đê-an là một khái niệm tổng quá hóa khái niệm bội số.

Định nghĩaSửa đổi

Đối với một vành tùy ý  , ký hiệu cho   là nhóm cộng nền của nó. Một tập hợp con   được gọi là i-đê-an trái nếu:

  1.   là một nhóm con của  
  2. Với mọi   , tích   thuộc  .

Tương tự, ta có thể định nghĩa i-đê-an phảii-đê-an hai phía.

Một i-đê-an (không có giải thích thêm) thông thường được ngầm hiểu là một i-đê-an trái hoặc một i-đê-an hai phía, tùy ngữ cảnh.

Ví dụSửa đổi

  • Trong vành R, chính tập hợp R tạo thành một i-đê-an hai phía. Nó là i-đê-an chính  , được gọi là i-đê-an đơn vị.
  • Một i-đê-an khác đơn vị được gọi là một i-đê-an đích thực (giống như là tập con đích thực).[1]
  • Các số chẵn tạo thành một i-đê-an của vành các số nguyên  ; nó thường được ký hiệu là  . Tương tự, i-đê-an các bội số của một số nguyên   được ký hiệu là  .
  • Tập hợp tất cả các đa thức chia hết cho x2 + 1 là một i-đê-an chính của vành đa thức.
  • Tập hợp các ma trận   với hàng dưới cùng bằng   là một i-đê-an phải của vành ma trận. Nó không phải là một i-đê-an trái.
  • Vành   các hàm liên tục f từ   vào   chứa i-đê-an các hàm số f sao cho f(1) = 0 (i-đê-an các hàm số triệt tiêu tại 1; đây là một i-đê-an tối đại).

Tính chấtSửa đổi

Ta có một loạt các loại i-đê-an như sau.

  • I-đê-an tối đại: Một i-đê-an đích thực I được gọi là i-đê-an tối đại nếu nó không có i-đê-an đích thực nào chứa nó. Tức là, tồn tại một và chỉ một i-đê-an chứa I: i-đê-an đơn vị. Nó là một phần tử tối đại trong lớp các i-đê-an đích thực (với thứ tự cảm sinh bởi quan hệ bao hàm). Lớp này khác rỗng bởi luôn tồn tại một i-đê-an đích thực: i-đê-an  . Theo bổ đề Zorn, tồn tại ít nhất một i-đê-an tối đại trong một vành (ta xây dựng chặn trên bằng phép hợp).
  • I-đê-an tối tiểu: Một i-đê-an là tối tiểu nếu nó khác i-đê-an   và nó chỉ chứa duy nhất i-đê-an   (và chính nó).
  • I-đê-an nguyên tố.
  • I-đê-an gốc hoặc i-đê-an bán nguyên tố.
  • I-đê-an sơ cấp.
  • I-đê-an chính
  • I-đê-an hữu hạn sinh.
  • I-đê-an nguyên thủy.
  • I-đê-an bất khả quy.
  • I-đê-an chính quy.
  • I-đê-an lũy linh đơn: một i-đê-an là lũy linh đơn nếu mỗi phần tử của nó là lũy linh.
  • I-đê-an lũy linh: một i-đê-an là lũy linh nếu một lũy thừa hữu hạn của nó bằng 0.

Một i-đê-an của một vành   được trang bị một cấu trúc  -mô-đun tự nhiên.

Phép toán i-đê-anSửa đổi

Tổng và tích của các i-đê-an được định nghĩa như sau

 ,
 

Ví dụSửa đổi

Trong   ta có

 

Đặt   . Thế thì,

  •   
  •  
  •  
  •   trong khi  

Xem thêmSửa đổi

  • Số học mô-đun
  • Định lý đẳng cấu Noether
  • Định lý i-đê-an nguyên tố Boolean
  • Lý thuyết i-đê-an
  • I-đê-an (lý thuyết thứ tự)
  • Định chuẩn i-đê-an
  • Phân tách các i-đê-an nguyên tố trong phần mở rộng Galois
  • Bó i-đê-an

Tham khảoSửa đổi

  • Atiyah, M. F. và Macdonald, I.G., Introduction to Commutative Algebra, 1969, ISBN 0-201-00361-9
  • Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (tái bản lần thứ ba), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3