Định lý Heine–Borel

Trong topo học của không gian metric, định lý Heine-Borel, được đặt theo tên của Eduard Heine và Émile Borel, phát biểu rằng:

Đối với một tập con A trong không gian Euclide $\mathbb {R} ^{n}$ , thì 2 mệnh đề sau đây là tương đương nhau:

A là tập đóng và bị chặn.
Mỗi phủ mở của A có một phủ con hữu hạn, điều đó có nghĩa A là compact.

Trong thực tế, định lý Heine-Borel được phát biểu cho bất kỳ một không gian metric nào, như sau:

Một tập con

A

của không gian metric là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn hoàn toàn.

Chứng minh

Giả sử $A$ compact. Vì $\mathbb {R} ^{n}$ là không gian Hausdorff nên $A$ đóng. Lấy một họ

\left\{B(0,m)|m\in \mathbb {Z} ^{+}\right\}

các phủ mở của $A$ . Vì $A$ compact nên có phủ con hữu hạn. Do đó có $M$ sao cho $A\subset B(0,M)$ . Nên, với hai điểm bất kỳ $x$ và $y$ của $A$ , ta có $d(x,y)\leq 2M$ . Vậy $A$ bị chặn.

Ngược lại, nếu $A$ đóng và bị chặn, giả sử $d(x,y)\leq N$ với mọi $x,y\in A$ . Cố định một điểm $x_{0}$ của $A$ , đặt $d(x_{0},0)=b$ . Khi đó, với mọi $x\in A$ thì