Đa tạp phi-Hausdorff

Trong hình học và tô pô, thông thường một đa tạp được xác định là một không gian Hausdorff. Trong tô pô đại cương, tiên đề này được nới lỏng, và người ta nghiên cứu các đa tạp phi-Hausdorff: các không gian đồng phôi cục bộ với không gian Euclid, nhưng không nhất thiết phải là Hausdorff.

Ví dụ

Đường thẳng hai gốc

Đường thẳng hai gốc, hay còn gọi là đường thẳng mắt lồi.

Nó là không gian thương của hai đường thẳng thực

R × { a } và R × { b }

dưới quan hệ tương đương

$(x,a)\sim (x,b){\text{ if }}x\neq 0.$

Không gian này có một điểm duy nhất ứng với mỗi số thực r khác 0 và hai điểm 0_a và 0_b ứng với r=0. Một cơ sở địa phương của các lân cận mở quanh $0_{a}$ trong không gian này là các tập hợp có dạng $\{r\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\vert -\varepsilon <r<\varepsilon \}\cup \{0_{a}\}$, với $\varepsilon$ là một số thực dương. $0_{b}$ cũng có một cơ sở như thế. Trong không gian này, mọi lân cận mở 0_a giao với mọi lân cận mở của 0_b, vì vậy nó là phi-Hausdorff: ta không thể tách biệt 0_a và 0_b bằng hai lân cận mở.

Không gian étalé

Không gian Étalé của một bó là một đa tạp thường là phi-Hausdorff. (Không gian étalé là Hausdorff với bó các hàm số thỏa mãn một thuộc tính kiểu thác triển giải tích.)