Bất đẳng thức Ky Fan

Bất đẳng thức Ky Fan là một bất đẳng thức liên quan đến trung bình cộng và trung bình nhân của một dãy số dương nằm trong đoạn [0,1/2]. Bất đẳng thức này là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Levinson

Bất đẳng thức Ky Fan được sử dụng trong lý thuyết trò chơi để tìm kiếm một trạng thái cân bằng.

Phát biểu cổ điển của bất đẳng thứcSửa đổi

Cho xi với 0 ≤ xi ≤ ½ với i = 1,..., n là các số thực, khi đó

 

Nhận xétSửa đổi

Theo định nghĩa trung bình đại số và trung bình hình học của dãy x1,. . ., xn lần lượt.

 

Theo định nghĩa trung bình đại số và trung bình hình học của dãy 1 − x1,. . ., 1 − xn lần lượt:

 

Khi đó bất đẳng thức Ky Fan có thể viết lại dưới dạng:

 

Tổng quátSửa đổi

Cho xi ∈ [0,½] and γi ∈ [0,1] với i = 1,. . ., n là n số thực thỏa mãn γ1 +. . . + γn = 1, thì:

 

Nếu định nghĩa 00:= 0. Khi đó dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

  • Trường hợp 1: γixi = 0 với mọi i = 1,. . ., n or
  • Trường hợp 2: xi=x > 0 trong đó x ∈ (0,½] với mọi i = 1,. . ., nγi > 0.

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

  • Alzer, Horst (tháng 6 năm 1988). “Verschärfung einer Ungleichung von Ky Fan”. Aequationes Mathematicae (bằng tiếng Đức). 36 (2–3): 246–250. doi:10.1007/BF01836094. ISSN 0001-9054.
  • Moslehian, M. S. “Ky Fan inequalities”. Linear and Multilinear Algebra. to appear. arXiv:1108.1467.

Liên kết ngoàiSửa đổi