Ma trận bổ sung
Bài này có liệt kê các nguồn tham khảo và/hoặc liên kết ngoài, nhưng nội dung trong thân bài cần được dẫn nguồn đầy đủ bằng các chú thích trong hàng để người khác có thể kiểm chứng. (2/2022) |
Trong đại số tuyến tính, một ma trận bổ sung (augmented matrix) hay ma trận mở rộng là một ma trận được lập bằng cách nối chắp các cột của hai ma trận cho trước, thường nhằm mục đích để tiến hành đồng thời các phép biến đổi hàng sơ cấp trên từng ma trận đã cho.
Cho hai ma trận A và B, trong đó
Đối với một số cho trước các ẩn, số nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính chỉ phụ thuộc vào hạng của ma trận biểu diễn các hệ số của hệ và hạng của ma trận bổ sung tương ứng. Cụ thể hơn, theo định lý Rouché–Capelli, một hệ phương trình tuyến tính bất kỳ là không nhất quán hay vô nghiệm nếu hạng của ma trận bổ sung lớn hơn hạng của ma trận hệ số; tuy nhiên nếu hạng của hai ma trận trên là bằng nhau thì hệ phải có ít nhất một nghiệm. Nghiệm là duy nhất khi và chỉ khi hạng bằng số ẩn; nếu không thì nghiệm tổng quát của hệ có k tham số tự do trong đó k là hiệu số giữa số ẩn và hạng, do đó trong trường hợp này hệ có vô số nghiệm.
Một ma trận bổ sung cũng có thể được sử dụng để tìm nghịch đảo của một ma trận bằng cách gắn nó với ma trận đơn vị.
Tìm nghịch đảo của một ma trận sửa
Cho C là một ma trận vuông 2×2
Sự tồn tại của nghiệm và số nghiệm sửa
Xét một hệ phương trình tuyến tính:
Ngược lại, xét hệ sau
Nghiệm của một hệ phuơng trình tuyến tính sửa
Ma trận bổ sung được sử dụng trong đại số tuyến tính để biểu diễn các hệ số và vectơ nghiệm của từng tập phương trình. Đối với tập phương trình
Chú ý rằng hạng của ma trận hệ số bằng 3 và bằng hạng của ma trận bổ sung, do đó có ít nhất một nghiệm tồn tại; và do hạng đó cũng bằng số ẩn, hệ chỉ có đúng một nghiệm.
Để thu được nghiệm này, ta có thể tiến hành các phép biến đổi hàng trên ma trận bổ sung cho đến khi phần bên trái trở thành ma trận đơn vị, ta được
Tham khảo sửa
- Marvin Marcus and Henryk Minc, A survey of matrix theory and matrix inequalities, Dover Publications, 1992, ISBN 0-486-67102-X. Page 31.