Trong Lý thuyết số, Số Skewes là số trong rất nhiều số lớn được sử dụng bởi nhà toán học nam phi Stanley Skewes đặt làm cận trên cho số tự nhiên x nhỏ nhất thỏa mãn

trong đó hàm đếm số nguyên tốhàm tích phân lôga. Số Skewes rất là lớn, nhưng nay người ta đã biết có giao điểm gần Nhưng hiện nay vẫn chưa biết được liệu nó có phải số nhỏ nhất.

Các số Skewes

sửa

John Edensor Littlewood, người giám sát nghiên cứu của Skewes, đã chứng tỏ trong Littlewood (1914) rằng tồn tại một số như vậy (và do đó, sẽ là số Skewes đầu tiên); nghiễm nhiên phát hiện ra rằng dấu của hiệu   đổi vô số lần. Tại thời gian đó, mọi chứng cứ bằng tính toán đều cho rằng   luôn nhỏ hơn  . Bài chứng minh của Littlewood tuy nhiên không hề tìm hay cho một số cụ thể.

Skewes (1933) chứng minh rằng, nếu giả sử giả thuyết Riemann là đúng, thì tồn tại số   vi phạm   nằm dưới

  .

Trong Skewes (1955), nếu không dùng đến giả thuyết Riemann, Skewes đã chứng minh rằng tồn tại   nằm dưới

  .

Nhiệm vụ của Skewes là đảm bảo bài chứng minh tính tồn tại trên của Littlewood có hiệu lực: biểu diễn một số cận trên cụ thể cho lần đầu đổi dấu.

Các ước tính gần đây

sửa

Từ đó, các giá trị cận trên được giảm đi đáng kể nhờ dùng tính toán bằng điện tính cỡ lớn các nghiệm của hàm zeta Riemann. Ước lượng đầu tiên cho giá trị thực sự của giao điểm được cho bởi Lehman (1966), người chứng tỏ rằng giữa    có hơn   số   liên tiếp thỏa mãn  . Không dùng giả thuyết Riemann, H. J. J. te Riele (1987) chứng minh một cận trên bằng  . Một ước tính tốt hơn   được tìm thấy bởi Bays & Hudson (2000), cặp đôi này đã chứng tỏ có ít nhất   số nguyên liên tiếp đâu đó gần giá trị này thỏa mãn  . Bays và Hudson tìm thấy các giá trị nhỏ hơn nhiều của   sao cho   tới gần  ; thể hiện khả năng vẫn có các giao điểm chưa được xét, mặc dù điện toán cho rằng các giá trị này có thể không tồn tại. Chao & Plymen (2010) củng cố một chút kết quả của Bays và Hudson. Saouter & Demichel (2010) tìm một khoảng nhỏ hơn, sau được cải thiện bởi Zegowitz (2010). Cùng nguồn đấy cũng chi rằng tồn tại số   vi phạm   nằm dưới  . Giá trị có thể giảm xuống dưới  , nếu giả sử giả thuyết Riemann đúng. Stoll & Demichel (2011) cho  .

Năm Gần x Số nghiệm phức được dùng Bởi
2000 1.39822 ×10316 1 ×106 Bays và Hudson
2010 1,39801 ×10316 1 ×107 Chao và Plymen
2010 1.397166 ×10316 2,2 ×107 Saouter và Demichel
2011 1.397162 ×10316 2,0 ×1011 Stoll và Demichel

Một cách chặt chẽ, Rosser & Schoenfeld (1962) đã chứng minh rằng không có giao điểm nào dưới  , được cải tiến bởi Brent (1975) thành  , bởi Kotnik (2008) tới  , bởi Platt & Trudgian (2014) tới  , và bởi Büthe (2015) tới  

Tham khảo

sửa

Liên kết ngoài

sửa