Số chiều Hausdorff

Trong toán học, Số chiều Hausdorff (còn được biết đến như là Số chiều Hausdorff - Besicovitch) là một số thực không âm mở rộng (có thể có giá trị ) ứng với một không gian metric nào đó. Số chiều Hausdorff tổng quát hóa khái niệm chiều của một không gian vectơ thực. Đó là, số chiều Hausdorff của một không gian tích trong n-chiều bằng n. Ví dụ như số chiều Hausdorff của một điểm là không, số chiều Hausdorff của một đường thẳng là một, và số chiều Hausdorff của mặt phẳng là hai. Tuy nhiên có, rất nhiều tập kì dị có số chiều Hausdorff không phải là số nguyên. Khái niệm này được đưa ra vào năm 1918 bởi nhà toán học Felix Hausdorff. Nhiều sự phát triển mang tính kĩ thuật được sử dụng để tính số chiều Hausdorff cho những tập hợp có tính kì dị cao được đạt được bởi Abram Samoilovitch Besicovitch.

Ước lượng Số chiều Hausdorff của bờ biển nước Anh

Việc đưa ra số chiều Hausdorff nhằm khắc phục những khuyết điểm của số chiều Topo. Chẳng hạn như số chiều Topo không thể nói lên được bất cứ điều gì về kích thước của vật. Đường cong phủ không gian là một ví dụ điển hình cho khuyết điểm này. Những đường như đường Peano hay đường Hilbert có thể phủ toàn bộ hình vuông đơn vị có số chiều Topo là hai mặc dù chúng chỉ có số chiều Topo là một. Điều đó cho thấy đường Peano hay đường Hilbert "hành xử" như có số chiều Topo là hai.

Bước lặp thứ 3 từ cách xây dựng đường Peano, giới hạn của việc lặp chính là một đường cong phủ không gian

Độ đo HausdorffSửa đổi

Định nghĩaSửa đổi

Cho   là một tập con không rỗng của  , đường kính của  , ký hiệu  , được định nghĩa là  . Cho  , nếu   là một họ đếm được (hay hữu hạn) những tập hợp thỏa    với mỗi  , thì   được gọi là một  -phủ của F. Giả sử   là một tập con của    là một số không âm. Với mỗi  , đặt

 

Độ đo Hausdorff s-chiều của  , ký hiệu là   được định nghĩa là  .

Ở đây ta cho phép giới hạn bằng  . Định nghĩa trên xác định vì khi   giảm thì số bao phủ của   giảm. Do đó   tăng, vì vậy   hội tụ khi  .

Tính chấtSửa đổi

  1.  
  2.   nếu  .
  3.   nếu   là một họ đếm được của những tập Borel rời nhau.
  4. Nếu F là một tập Borel của  , thì   trong đó   là độ đo Lebesgue của F trong  ,   là thể tích của quả cầu đơn vị trong  .

Định lýSửa đổi

  1. Nếu    thì   với  .
  2. Cho    thỏa
 

với    thì với mỗi  ,  

Số Chiều HausdorffSửa đổi

Xét tính chất sau của độ đo Hausdorff.

Nếu    là một  -phủ của F thì   Do đó   Cho  , nếu   thì   với mọi  . Điều đó cho thấy có một giá trị   mà tại đó   "nhảy" từ   xuống  . Giá trị đó được gọi là số chiều Hausdorff của  .

 
Đồ thị của  . Số chiều Hausdorff của F là giá trị s mà tại đó có sự nhảy từ   xuống  .

Định nghĩaSửa đổi

Cho  . Số chiều Hausdorff của F, ký hiệu  , được định nghĩa là

 

Quy ước  .

Tính chấtSửa đổi

  1.  
  2. Nếu   thì  .
  3. Nếu   là một dãy những tập hợp thì  .

Định lýSửa đổi

  1. Cho    thỏa   với    thì  .
  2. Cho  . Nếu tồn tại   sao cho   thì  

Ví dụSửa đổi

  1. Số chiều Hausdorff của một điểm trong   bằng  .
  2. Số chiều Hausdorff của một tập đếm được trong   bằng  .
  3. Số chiều Hausdorff của đường thẳng thực   bằng 1.
  4. Số chiều của   bằng  .

Số chiều Hausdorff của các FractalSửa đổi

Định nghĩaSửa đổi

Một Fractal (phân dạng) là một vật thể hình học thường có hình dạng gấp khúc trên mọi tỷ lệ phóng đại, và có thể được tách ra thành từng phần: mỗi phần trông giống như hình tổng thể, nhưng ở tỷ lệ phóng đại nhỏ hơn. Như vậy fractal có vô hạn các chi tiết, các chi tiết này có thể có cấu trúc tự đồng dạng ở các tỷ lệ phóng đại khác nhau. Nhiều trường hợp, có thể tạo ra fractal bằng việc lặp lại một mẫu toán học, theo phép hồi quy.

Hình học Fractal là ngành toán học chuyên nghiên cứu các tính chất của fractal; những tính chất không dễ gì giải thích được bằng hình học thông thường. Ý niệm cơ bản của môn này là xây dựng phép đo đạc mới về kích thước của vật thể, do các phép đo thông thường của hình học Euclid và giải tích thất bại khi mô tả các fractal.

Tập tự đồng dạngSửa đổi

Đặc điểm chung của nhiều fractal là tính tự đồng dạng, biểu hiện ở chỗ chúng có thể phân tích thành bộ phận nhỏ tùy ý mà mỗi bộ phận ấy lặp lại y hệt cấu trúc toàn thể. Tính tự đồng dạng ấy thể hiện rõ ở tập Cantor hay đường Peano, tam giác Spierpinki...

Cho   là một tập con đóng của  . Một ánh xạ:   được gọi là co nếu tồn tại   sao cho   Trường hợp có dấu bằng, nghĩa là  , thì S được gọi là một phép tự đồng dạng.

Cho   là các ánh xạ co. Tập con   được gọi là bất biến đối với họ các ánh xạ co   nếu  

Đặt   là tập hợp tất cả các tập con compact khác trống của  . Một  -phủ của   là tập hợp những điểm cách   quá lắm là  :   Lúc đó   trở thành không gian metric với khoảng các   cho bởi  

Định lý: Cho   là các ánh xạ co trên  . Khi đó tồn tại một tập compact không rỗng   là một bất biến đối với các  . Hơn nữa, xét một phép biến đổi   trên   cho bởi   và lặp thứ   của   cho bởi   với   thì   với mỗi   sao cho   với mỗi  .

Số chiều Hausdorff của tập tự đồng dạngSửa đổi

Cho  :   là các phép đồng dạng với tỷ số tương ứng  . Một tập bất biến với họ các phép đồng dạng trên được gọi là tập tự đồng dạng (self-similar-set).Nếu tồn tại một tập mở bị chặn, không trống   sao cho   với các   rời nhau đôi một thì ta nói họ   thỏa điều kiện tập mở.

Định lý: Với điều kiện tập mở được thỏa mãn cho các phép đồng dạng   trên   có tỷ số đồng dạng là  ,   là tập bất biến, tức là   thỏa  

thì   với s cho bởi  . Hơn thế nữa với   có được thì  .

Ví dụSửa đổi

Tập Cantor được xây dựng từ đoạn thẳng   và hai phép đồng dạng   (tỉ số đồng dạng  ). Điều kiện tập mở được thoả mãn với   là khoảng  . Vậy số chiều Hausdorff   là nghiệm của phương trình  , tức  .

Đệm Sierpinski được xây dựng bằng cách xuất phát từ một tam giác đều, chia nó ra bốn tam giác đều nhỏ bởi các đường nối trung điểm của các cạnh, bỏ tam giác ở giữa, rồi lặp lại cách làm đó cho mỗi tam giác còn lại, cứ thế tiếp tục mãi. Cụ thể, đệm Sierpinski được tạo bởi ba phép đồng dạng có tỉ số  . Đó là  , ,  . Điều kiện tập mở được thỏa mãn với   là phần trong của tập   trong đó   là hình tam giác ban đầu, nên số chiều Hausdorff   là nghiệm duy nhất của phương trình  . Do đó  .

 
Hình ảnh đầu tiên của tập Mandelbrot (trên mặt phẳng phức) trong dãy phóng đại với môi trường được tô màu liên tục (các điểm màu đen thuộc về tập này).
 
A Julia set

Bản mẫu:Slear

Tham khảoSửa đổi