Số gần nguyên tố

Trong lý thuyết số, một số tự nhiên được gọi là số gần nguyên tố bậc k nếu nó có k thừa số nguyên tố . ^[1] ^[2] ^[3] Chính thức hơn, một số n là số gần số nguyên tố bậc k khi và chỉ khi Ω(n) = k, trong đó Ω(n) là tổng số các số nguyên tố trong phép phân tích thừa số nguyên tố của n (cũng có thể được coi là tổng của tất cả các số mũ của số nguyên tố trong phân tích đó):

\Omega (n):=\sum a_{i}\qquad {\mbox{nếu}}\qquad n=\prod p_{i}^{a_{i}}.

Do đó, một số tự nhiên là số nguyên tố khi và chỉ khi nó là số gần nguyên tố bậc 1, và là số nửa nguyên tố khi và chỉ khi nó gần như là số gần nguyên tố bậc 2. Tập hợp số gần nguyên tố bậc k thường được ký hiệu là P_k. Số gần nguyên tố bậc k nhỏ nhất là 2^k . Các số gần nguyên tố có cùng bậc k đầu tiên là:

k	số gần nguyên tố bậc k	Dãy OEIS
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…	A000040
2	4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22,…	A001358
3	8, 12, 18, 20, 27, 28, 30,…	A014612
4	16, 24, 36, 40, 54, 56, 60,…	A014613
5	32, 48, 72, 80, 108, 112,…	A014614
6	64, 96, 144, 160, 216, 224,…	A046306
7	128, 192, 288, 320, 432, 448,…	A046308
8	256, 384, 576, 640, 864, 896,…	A046310
9	512, 768, 1152, 1280, 1728,…	A046312
10	1024, 1536, 2304, 2560,…	A046314
11	2048, 3072, 4608, 5120,…	A069272
12	4096, 6144, 9216, 10240,…	A069273
13	8192, 12288, 18432, 20480,…	A069274
14	16384, 24576, 36864, 40960,…	A069275
15	32768, 49152, 73728, 81920,…	A069276
16	65536, 98304, 147456,…	A069277
17	131072, 196608, 294912,…	A069278
18	262144, 393216, 589824,…	A069279
19	524288, 786432, 1179648,…	A069280
20	1048576, 1572864, 2359296,…	A069281

Hàm π_k(n) đếm số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n với đúng k ước nguyên tố (không nhất thiết phải phân biệt) tiệm cận với : ^[4]

\pi _{k}(n)\sim \left({\frac {n}{\log n}}\right){\frac {(\log \log n)^{k-1}}{(k-1)!}},

kết quả của Landau. ^[5] Xem thêm định lý Hardy – Ramanujan.

Tham khảo sửa

^ Sándor, József; Dragoslav, Mitrinović S.; Crstici, Borislav (2006). Handbook of Number Theory I. Springer. tr. 316. doi:10.1007/1-4020-3658-2. ISBN 978-1-4020-4215-7.
^ Rényi, Alfréd A. (1948). “On the representation of an even number as the sum of a single prime and single almost-prime number”. Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya (bằng tiếng Nga). 12 (1): 57–78.
^ Heath-Brown, D. R. (tháng 5 năm 1978). “Almost-primes in arithmetic progressions and short intervals”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 83 (3): 357–375. Bibcode:1978MPCPS..83..357H. doi:10.1017/S0305004100054657.
^ Tenenbaum, Gerald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-41261-2.
^ Landau, Edmund (1953) [first published 1909]. “§ 56, Über Summen der Gestalt $\sum _{p\leq x}F(p,x)$ ”. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. 1. Chelsea Publishing Company. tr. 211.

Liên kết ngoài sửa

Weisstein, Eric W., "Almost prime" từ MathWorld.

[1] Sándor, József; Dragoslav, Mitrinović S.; Crstici, Borislav (2006). Handbook of Number Theory I. Springer. tr. 316. doi:10.1007/1-4020-3658-2. ISBN 978-1-4020-4215-7.

[2] Rényi, Alfréd A. (1948). “On the representation of an even number as the sum of a single prime and single almost-prime number”. Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya (bằng tiếng Nga). 12 (1): 57–78.

[3] Heath-Brown, D. R. (tháng 5 năm 1978). “Almost-primes in arithmetic progressions and short intervals”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 83 (3): 357–375. Bibcode:1978MPCPS..83..357H. doi:10.1017/S0305004100054657.

[4] Tenenbaum, Gerald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-41261-2.

[5] Landau, Edmund (1953) [first published 1909]. “§ 56, Über Summen der Gestalt $\sum _{p\leq x}F(p,x)$ ”. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. 1. Chelsea Publishing Company. tr. 211.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]