K16toanchuminhchi
phương trình diophantine(Sưu tầm)
Phương trình Diophantine đã được nghiên cứu một cách sâu sắc bởi các nhà toán học Ân Độ trung cổ. Họ là những người đầu tiên nghiên cứu một cách có hệ thống các phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình Diophantine. Aryabhata (499) là người đầu tiên tìm ra dạng nghiệm tổng quát của phương trình Diophantine tuyến tính ay + bx = c, được ghi trong cuốn Aryabhatiya của ông. Thuật toán kuttaka này được xem là một trong những cống hiến quan trọng nhất của Aryabhata trong toán học lý thuyết, đó là tìm nghiệm của phương trình Diophantine bằng liên phân số. Aryabhata đã dùng kĩ thuật này để tìm nghiệm nguyên của các hệ phương trình Diophantine, một bài toán có ứng dụng quan trọng trong thiên văn học. Ông cũng đã tìm ra nghiệm tổng quát đối với phương trình tuyến tính vô định bằng phương pháp này.
Brahmagupta vào năm 628 đã nắm được những phương trình Diophantine phức tạp hơn. Ông sử dụng phương pháp chakravala để giải phương trình Diophantine bậc hai, bao gồm cả các dạng của phương trình Pell, như là 61x2 + 1 = y2. Cuốn Brahma Sphuta Siddhanta của ông đã được dịch sang tiếng Ả Rập vào năm 773 và sau đó được dịch sang tiếng Latin vào năm 1126. Phương trình 61x2 + 1 = y2 sau đó đã được chuyển thành một bài toán vào năm 1657 bởi nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat. Leonhard Euler hơn 70 năm sau đã tìm được nghiệm tổng quát đối với trường hợp riêng này của phương trình Pell, trong khi nghiệm tổng quát của phương trình Pell đã được tìm ra hơn 100 năm sau đó bởi Joseph Louis Lagrange vào 1767. Trong khi đó, nhiều thế kỉ trước, nghiệm tổng quát của phương trình Pell đã được ghi lại bởi Bhaskara II vào 1150, sử dụng một dạng khác của phương pháp chakravala. Ông cũng đã sử dụng nó để tìm ra nghiệm tổng quát đối với các phương trình vô định bậc hai và phương trình Diophantine bậc hai khác. Phương pháp chakravala của Bhaskara dùng để tìm nghiệm phương trình Pell đơn giản hơn nhiều so với phương pháp mà Lagrange sử dụng 600 năm sau đó. Bhaskara cũng đã tìm được nghiệm của các phương trình vô định bậc hai, bậc ba, bốn và cao hơn. Narayana Pandit đã cải tiến phương pháp chakravala và tìm thêm được các nghiệm tổng quát hơn đối với các phương trình vô định bậc hai và cao hơn khác.