Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Chuỗi lũy thừa hình thức”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
n replaced: ( → ( (3), . → . (3), : → : (2) using AWB |
|||
Dòng 1:
Trong [[toán học]], một '''chuỗi''' '''lũy thừa hình thức''' là một sự khái quát của [[đa thức]], trong đó số các số hạng có thể là vô hạn mà không có yêu cầu nào về sự hội tụ.
▲Trong [[toán học]], một '''chuỗi''' '''lũy thừa hình thức''' là một sự khái quát của [[đa thức]], trong đó số các số hạng có thể là vô hạn mà không có yêu cầu nào về sự hội tụ.
== Vành các chuỗi lũy thừa hình thức ==
Vành các chuỗi lũy thừa hình thức một biến ''X'' với hệ số trong [[vành giao hoán]] ''R'' được ký hiệu là <math>R[[X]]</math>''.''
==== Cấu trúc vành ====
Một phần tử của <math>R[[X]]</math> có thể được coi như một phần tử của <math>R^\N</math>. Ta định nghĩa phép cộng
: <math>(a_n)_{n\in\N} + (b_n)_{n\in\N} = \left(
và phép nhân
: <math>(a_n)_{n\in\N} \times (b_n)_{n\in\N} = \left(
Phép nhân này khác với phép nhân từng số hạng. Nó được gọi là tích Cauchy của hai chuỗi hệ số, và là một loại [[tích chập]] rời rạc. Với các phép toán này, <math>R^\N</math> trở thành một vành giao hoán với phần tử không <math>(0,0,0,\ldots)</math> và đơn vị <math>(1,0,0,\ldots)</math>
==== Cấu trúc tô pô ====
Theo qui ước
: <math>(a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots) = \sum_{i=0}^\infty a_i X^i, \qquad (1)</math>
một cấu trúc tô-pô trên vành các chuỗi lũy thừa hình thức được xác định bởi một cấu trúc tô-pô trên <math>R^\N</math>. Có nhiều định nghĩa tương đương.
* Chúng ta có thể gán cho <math>R^\N</math> [[Không gian tôpô tích|tô pô tích]], với mỗi bản sao của <math>R</math> mang [[tô pô rời rạc]]
* Ta cũng có thể gán cho nó tô-pô cảm sinh từ [[Không gian mêtric|metric]] sau. Khoảng cách hai chuỗi phân biệt <math>(a_n), (b_n) \in R^{\N},</math> được định nghĩa là
▲* Ta cũng có thể gán cho nó tô-pô cảm sinh từ [[Không gian mêtric|metric]] sau. Khoảng cách hai chuỗi phân biệt <math>(a_n), (b_n) \in R^{\N},</math> được định nghĩa là
:: <math>d((a_n), (b_n)) = 2^{-k},</math>
: với <math>k</math> là [[số tự nhiên]] nhỏ nhất sao cho <math>a_k\neq b_k</math>.
==== Ví dụ ====
Lưu ý rằng trong <math>\R[[X]]</math> giới hạn
: <math>\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{X}{n}\right)^{\!n}</math>
không tồn tại, vì vậy, nó không hội tụ tới
: <math>\exp(X)\ =\ \sum_{n\in\N}\frac{X^n}{n!}.</math>
Hàng 42 ⟶ 40:
=== Lũy thừa ===
Với một [[số tự nhiên]] ''n'' ta có
: <math> \left(
trong đó
: <math>\begin{align}
Hàng 54 ⟶ 52:
=== Nghịch đảo ===
Chuỗi
: <math>A = \sum_{n=0}^\infty a_n X^n \in R[[X]]</math>
là khả nghịch trong <math>R[[X]]</math> hệ số hằng <math>a_0</math> là khả nghịch. Chuỗi nghịch đảo <math>B</math> có thể được tính qua công thức đệ quy tường minh
: <math>\begin{align}
Hàng 65 ⟶ 63:
\end{align}</math>
Một trường hợp đặc biệt là công thức [[Chuỗi hình học|chuỗi cấp số nhân]] được thỏa mãn trong <math>R[[X]]</math>
: <math>(1 - X)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty X^n.</math>
=== Hợp ===
Cho hai chuỗi lũy thừa hình thức
: <math>f(X) = \sum_{n=1}^\infty a_n X^n = a_1 X + a_2 X^2 + \cdots</math>
: <math>g(X) = \sum_{n=0}^\infty b_n X^n = b_0 + b_1 X + b_2 X^2 + \cdots,</math>
ta có thể định nghĩa phép hợp
: <math>g(f(X)) = \sum_{n=0}^\infty b_n (f(X))^n = \sum_{n=0}^\infty c_n X^n,</math>
với
: <math>c_n:=\sum_{k\in\N, |j|=n} b_k a_{j_1} a_{j_2} \cdots a_{j_k}.</math>
Tổng này được lấy trên tất cả các cặp (''k'',''j'') với <math>k\in\N</math> và <math>j\in\N_+^k</math> sao cho <math>|j|:=j_1+\cdots+j_k=n.</math>
=== Đạo hàm hình thức ===
Cho một chuỗi lũy thừa hình thức
: <math>f = \sum_{n\geq 0} a_n X^n \in R[[X]],</math>
ta có thể xác định '''đạo hàm hình thức''' của nó, ký hiệu là ''Df'' hoặc ''f' '', bởi
: <math> Df = f' = \sum_{n \geq 1} a_n n X^{n-1}.</math>
Hàng 99 ⟶ 97:
=== Tính chất tô pô ===
Không gian metric <math>(R[[X]], d)</math> là hoàn chỉnh
Vành <math>R[[X]]</math> là [[compact]] khi và chỉ khi ''R'' là [[Tập hợp hữu hạn|hữu hạn]]
== Tham khảo ==
* {{Chú thích sách|title=Noncommutative rational series with applications|last=Berstel|first=Jean|last2=Reutenauer|first2=Christophe|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=2011|isbn=978-0-521-19022-0|series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications|volume=137|location=Cambridge|zbl=1250.68007|author-link=Jean Berstel}} <bdi> </bdi>
* Nicolas Bourbaki
== Đọc thêm ==
* W. Kuich. Springer, Berlin, 1997, {{ISBN|3-540-60420-0}}
* Droste, M., & Kuich, W. (2009). {{DOI|10.1007/978-3-642-01492-5_1}}
[[Thể loại:Chuỗi toán học]]
[[Thể loại:Lý thuyết vành]]
| |||