Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Tích phân Wallis”

Các tích phân Wallis là các phần tử của một dãy số thực <math>(W_n)_{n\in\N}</math> xác định bởi: <center><math> W_n = \int_0^{\frac{\pi}2} \sin^nx\,\mathrm dx</math></center> hoặc tương đương (bằng cách [[Phép đổi biến tích phân|đổi biến]] <math>x=\frac\pi2-t</math>): <center> <math> W_n = \int_0^{\frac{\pi}2} \cos^nx\,\mathrm dx</math>. </center> Các giá trị đầu tiên:

[[Tích phân từng phần]] cho phép thiết lập [[Liên hệ lặp lại|mối quan hệ lặp lại]]: <center> <math>W_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}\,W_n</math>. </center> Từ đây ta thu được các công thức tổng quát: <center> <math>W_{2p}=\frac\pi2\prod_{k=1}^p\frac{2k-1}{2k}=\frac\pi2\frac{(2p)!}{\left(2^pp!\right)^2}\quad\text{và}\quad W_{2p+1}=\prod_{k=1}^p\frac{2k}{2k+1}=\frac{\left(2^pp!\right)^2}{(2p+1)!}</math>. </center>

Biết rằng <math>\Beta(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math> và <math>\Gamma\left(\tfrac12\right)=\sqrt\pi</math>, ta có thể viết các tích phân Wallis dưới dạng: <center> <math>W_n ={\frac12}\Beta\left(\frac{n+1}2,\frac12\right)=\frac{\Gamma\left(\tfrac{n+1}2\right)\sqrt\pi}{2\,\Gamma\left(\tfrac n2+1\right)}</math>. </center> Từ công thức lặp lại, ta có mối quan hệ tiệm cận: <center> <math>W_{n+1}\sim W_n</math>. </center> Hệ quả: <center> <math>W_n\sim\sqrt{\frac{\pi}{2n}}</math>. </center>

Giả sử sự tồn tại một hằng số <math>C</math> sao cho: <center> <math>n!\sim C\sqrt n\,\left(\frac n{\mathrm e}\right)^n</math>. </center> Bằng cách thay thế các [[giai thừa]] trong biểu thức trên bằng các tích phân Wallis, ta có:

So sánh với tiệm cận của tích phân Wallis thu được trước đó, ta có <center> <math>C=\lim_{p\to\infty}\frac\pi{W_{2p}\sqrt{2p}}=\sqrt{2\pi}</math>. </center> Do đó, ta suy ra [[Xấp xỉ Stirling|công thức Stirling]]:

Từ <math>W_{2p}\sim W_{2p+1}</math>, ta có <center> <math>\lim_{p\to\infty}\frac{W_{2p+1}}{W_{2p}/\frac\pi2}=\frac\pi2</math>. </center> Mặt khác: