Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Chuỗi Grandi”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
→Các phương pháp không chính xác: clean up, general fixes, replaced: . → . (8) using AWB |
Không có tóm lược sửa đổi |
||
Dòng 44:
Nếu xét trong [[giải tích phức]], <math>\tfrac{1}{2}</math> được thấy tại điểm <math>z=-1</math> trong [[thác triển giải tích]] của chuỗi <math>\sum_{n=0}^N z^n</math>, duy nhất được định nghĩa trên đĩa đơn vị phức, <math>|z|<1</math>.
== Các ý tưởng ban đầu ==
== Tính phân kỳ ==
Trong toán học hiện đại, tổng của một chuỗi vô hạn được định nghĩa là giới hạn của [[tổng một phần]], nếu nó tồn tại. Chuỗi các tổng một phần của chuỗi Grandi là {{nowrap|1, 0, 1, 0, ...,}} không chạy gần đến một giá trị nào (tuy nó có hai [[điểm giới hạn]] là 0 và 1). Do đó chuỗi Grandi là chuỗi [[Chuỗi phân kỳ|phân kỳ]].
Có thể chứng minh được rằng không thể tính được tổng của chuỗi Grandi khi thực các thao tác vô hại trên chuỗi, ví dụ như sắp xếp lại các phần tử, trừ phi chuỗi [[hội tụ tuyệt đối]]. Nếu không, các phép đổi có thể làm thay giá trị chuỗi.<ref>{{citation|title=A First Course in Real Analysis|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|first1=Murray H.|last1=Protter|first2=Charles B., Jr.|last2=Morrey|publisher=Springer|year=1991|isbn=9780387974378|page=249|url=https://books.google.com/books?id=0pZJeQ2lEmkC&pg=PA249}}.</ref> Hơn nữa, chuỗi Grandi có thể được sắp xếp lại sao cho điểm giới hạn có thể là 2 hoặc nhiều hơn, không chỉ là 0 hoặc 1. Chẳng hạn chuỗi
:<math>1+1+1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-\cdots</math>
(Trong đó, sau 5 phần tử +1, chuỗi dao động giữa các cặp +1 and −1) là [[hoán vị]] của chuỗi Grandi trong đó mỗi phần tử trong chuỗi tương ứng với một giá trị cách tối đa 4 vị trí so với giá trị trong chuỗi ban đầu; các điểm giới hạn của nó là 3, 4, và 5.
== Chú thích ==
{{reflist}}
== Tham khảo ==
{{
*{{chú thích sách |last=Davis |first=Harry F. |title=Fourier Series and Orthogonal Functions |date=May 1989 |publisher=Dover |isbn=0-486-65973-9}}
*{{chú thích sách |last=Devlin |first=Keith |authorlink=Keith Devlin |title=Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe |url=https://archive.org/details/mathematicsscien0000devl |year=1994 |publisher=Scientific American Library |isbn=0-7167-6022-3}}
Hàng 53 ⟶ 65:
*{{chú thích sách|first1=E. W.|last1=Hobson|title=The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier's series|url=https://archive.org/details/theoryfunctions00hobsgoog|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=1907|at=section 331|publication-place=[http://www.hti.umich.edu/u/umhistmath/ The University of Michigan Historical Mathematics Collection]}}
*{{chú thích sách|first1=E. T.|last1=Whittaker|first2=G. N.|last2=Watson|title=A course of modern analysis|edition=4th, reprinted|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=1962|at={{Section-sign|alt=Section}} 2.1}}
{{refend}}
{{sơ khai}}
| |||