Định lý Lester

Trong hình học Euclid, định lý Lester đặt theo tên của giáo sư nữ June Lester, người Canada, định lý này phát biểu rằng: Trong một tam giác không phải là tam giác cân, thì hai điểm Fermat, tâm đường tròn chín điểm, tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên đường tròn, được gọi là đường tròn Lester. Tâm đường tròn Lester được đánh số là trong bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác.[1] Gần đây Peter Moses mới tìm ra 21 tâm tam giác khác nằm trên đường tròn Lester, các điểm được đánh số trong từ điển Tâm tam giác được đánh số từ X(15535)-X(15555) [2]

Chứng minhSửa đổi

Có rất nhiều chứng minh cho định lý Lester. Sau đây là hai chứng minh sử dụng tính chất đường hyperbol chữ nhật

 
Đường tròn Lester như một tính chất của đường hyperbol chữ nhật

Định lý Lester như một tính chất của đường hyperbol KiepertSửa đổi

Trong bài báo của Paul Yiu đã đưa ra tổng quát của Bernard Gibert như sau [3].

Tất cả mọi đường tròn có đường kính là một dây cung của hyperbol Kiepert và vuông góc với đường thẳng Euler đều đi qua hai điểm Fermat.

Định lý Lester như một tính chất của đường hyperbol chữ nhậtSửa đổi

Định lý Lester như một tính chất của đường hyperbol chữ nhật như sau:[4]

Cho hai điểm    nằm trên một nhánh của một hyperbol chữ nhật, và

1-Cho hai điểm   and   đối xứng qua tâm của hyperbol này sao cho tiếp tuyến của hyperbol tại hai điểm đó song song với đường thẳng  ,

2-Cho hai điểm   and   nằm trên hyperbol sao cho giao điểm của tiếp tuyến của hyperbol là tại điểm   nằm trên đường thẳng  .

Nếu như đường thẳng   giao với đường thẳng   tại  , và trung trực của   giao với hyperbol tại   and  , khi đó sáu điểm   nằm trên một đường tròn.

Mở rộngSửa đổi

 
Mở rộng định lý Lester kết hợp với đường cong Neuberg:   lie on a circle

Giả thuyết mở rộng định lý Lester được đề xuất bởi Đào Thanh Oai, giả thuyết này được công bố trên bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác. Giả thuyết như sau: Cho điểm   nằm trên đường cong Neuberg, gọi   lần lượt là ba điểm đối xứng của   qua ba cạnh   của tam giác. Khi đó theo tính chất của đường cong Neuberg thì ba đường thẳng   đồng quy, gọi điểm đồng quy này là  . Giả thuyết đó khẳng định hai điểm Fermat  cùng thuộc một đường tròn. Khi điểm   trùng với đường tròn ngoại tiếp tam giác   thì đường tròn này là đường tròn Lester.[5]

Xem thêmSửa đổi

Chú thíchSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

  • Clark Kimberling, "Lester Circle", Mathematics Teacher, volume 89, number 26, 1996.
  • June A. Lester, "Triangles III: Complex triangle functions", Aequationes Mathematicae, volume 53, pages 4–35, 1997.
  • Michael Trott, "Applying GroebnerBasis to Three Problems in Geometry", Mathematica in Education and Research, volume 6, pages 15–28, 1997.
  • Ron Shail, "A proof of Lester's Theorem", Mathematical Gazette, volume 85, pages 225–232, 2001.
  • John Rigby, "A simple proof of Lester's theorem", Mathematical Gazette, volume 87, pages 444–452, 2003.
  • J.A. Scott, "On the Lester circle and the Archimedean triangle", Mathematical Gazette, volume 89, pages 498–500, 2005.
  • Michael Duff, "A short projective proof of Lester's theorem", Mathematical Gazette, volume 89, pages 505–506, 2005.
  • Stan Dolan, "Man versus Computer", Mathematical Gazette, volume 91, pages 469–480, 2007.