Mở trình đơn chính

Định lý bất biến của miền xác định

Định lý bất biến miền (Invariance of domain) còn có tên gọi là Định lý Brouwer về tính bất biến của miền (domain), được chứng minh bởi nhà toán học Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) vào năm 1912. Định lý này được phát biểu cho không gian với tôpô Euclid (hiện nay đã có phát biểu cho các không gian khác). Từ "miền" (domain) (với nghĩa hiện nay không phổ biến) chỉ tập mở.

Phát biểuSửa đổi

  • Cho tập hợp  tập mở trong không gian   (với tôpô Euclid) và   là một đơn ánh liên tục. Khi đó   cũng mở trong  .

Chứng minhSửa đổi

Chứng minh dưới đây là chứng minh phổ biến của hiện nay, tuy vậy đây không phải mà chứng minh của Brouwer. Mọi chứng minh cho đến hiện tại của định lý này ít nhiều đều phải nhờ đến các kết quả của tôpô đại số.

Cho  tập mở. Với mỗi  , có một quả cầu đóng   tâm   sao cho  , có biên là   và phần trong là  . Ta sẽ chứng minh rằng   mở trong  , suy ra   mở trong  .

Tuy vậy, do có một sự “gần giống nhau” giữa   , cùng với việc nhiều kết quả đã đạt được đối với mặt cầu  , nên người ta thay việc chứng minh đối với   thành việc chứng minh đối với  . Các mệnh đề về compắc hóa dưới đây cho thấy sự “gần giống nhau” đó. Chứng minh các mệnh đề này có thể xem trong [1].

Mệnh đề. Compắc hóa Alexandroff của một không gian Hausdorff compắc địa phương thì Hausdorff.

Do đó các compắc hóa Alexandroff của    đều Hausdorff.

Mệnh đề. Nếu   đồng phôi với   thì compắc hóa một-điểm Hausdorff (Hausdorff one-point compactification) của   đồng phôi với compắc hóa một-điểm Hausdorff của  .

 Do đó vì  , nên với    lần lượt là các compắc hóa một-điểm Hausdorff của   , ta có  .

 Với   là ánh xạ chứa trong. Ta lưu ý rằng cách xây dựng compắc hóa Alexandroff   của   cho thấy mọi tập mở trong   vẫn mở trong  , tức   là ánh xạ mở. Nên với  ,   mở trong       mở trong       mở trong  .

 Ta thấy   là một đơn ánh, nên nếu với mọi   là đơn ánh liên tục, ta chứng minh được   mở trong   thì định lý bất biến miền được chứng minh.

Định lý. Cho   là một tập mở trong    là đơn ánh liên tục. Khi đó   cũng mở trong  .

Chứng minh. Với mỗi  , có một quả cầu đóng   tâm   sao cho  , có biên là   và phần trong là  . Ta sẽ chứng minh   mở trong  . Chứng minh này cần kết quả quan trọng sau (chứng minh mệnh đề sau đây khá dài, ta có thể xem trong [2]).

Mệnh đề. Cho   là một ánh xạ liên tục sao cho  . Khi đó  . (Tổng quát của mệnh đề này là, cho   là một ánh xạ liên tục sao cho  , khi đó  ,  , với   là nhóm đồng điều rút gọn (reduced simplicial homology group) thứ   của  . Định lý này có tên là định lý phân chia Jordan - Brouwer, xem trong [2] hoặc [3]).

Áp dụng cho  . Do   là đơn ánh liên tục,   compắc và   Hausdorff nên   là một đồng phôi từ   sang  , ta có  . Suy ra theo mệnh đề trên, ta có  . Ta có   là liên thông đường, bên cạnh đó   cũng liên thông đường do   liên thông đường. Vậy nên   chia   thành 2 thành phần liên thông đường rời nhau   . Do   là compắc nên   cũng compắc, suy ra   đóng trong   (do   Hausdorff). Suy ra

 

mở trong  . Do đó hai thành phần liên thông đường    cũng là hai thành phần liên thông của  . Vậy nên chúng đều mở trong  , nói riêng   mở trong  , do đó   mở trong S^{n}. Ta có đpcm.

Hệ quảSửa đổi

   đồng phôi thì   phải bằng  .

Chứng minh. Giả sử có đồng phôi   . Khi đó với mọi tập mở   ta có   mở trong  . Do  , xét ánh xạ chứa trong  , ta thấy các phần tử của   sẽ được viết dưới dạng  . Mặt khác do   là một đơn ánh liên tục nên  , theo định lý bất biến miền, phải mở trong  , điều này là không thể bởi   không có lân cận mở nào trong   chứa trong  . Vậy  .

Làm ngược lại với  , ta có  . Vậy    phải bằng nhau.

Định lý này có thể chứng minh ngắn gọn bằng cách dùng kết quả về các nhóm đồng điều  .

Ý nghĩa trực quan. Định lý này cho thấy nếu xem phép đồng phôi, một cách trực quan, là phép co bóp kéo giãn mà không cắt hay dán, thì ta không thể kéo hay co bóp một "đường thẳng"  , mặt phẳng   hay cả không gian   thành hai thứ còn lại.

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi