Trong toán họclý thuyết topo, compact hóa (phiên âm: compắc hóa, tiếng Anh: compactification) là một quá trình biến một không gian topo thông thường thành một không gian compact.[1] Không gian compact hay tập compact có những tính chất hữu ích như:

  • Tập compact thì đóng và bị chặn trong không gian mêtric.
  • Với mọi dãy có dãy con hội tụ trong một tập compact của không gian mêtric.
  • Các hàm liên tục trên không gian compact thì tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Một phương pháp thông dụng để compact hóa một không gian topo là "compact hóa một điểm" (one-point compactification) với định lý Alexandroff và tính chất compact địa phương.

Định nghĩa[2]Sửa đổi

Một compact hóa của   là một không gian compact   sao cho   đồng phôi với một không gian con trù mật của  .

Ví dụ:

  • Tập compact hóa của tập   .
  • Tập compact hóa của tập   .

Compact hóa một điểmSửa đổi

 
Compact hóa một điểm của khoảng mở và đường thẳng thực thì đồng phôi với  . Compact hóa một điểm của một đĩa mở trong   thì đồng phôi với mặt cầu  .

Trong một vài trường hợp nhất định, ta có thể compact hóa một không gian không compact bằng việc thêm vào đó một điểm. Khi đó, ta gọi đó là compact hóa một điểm.

Ví dụ:

  • Một tập compact hóa một điểm của tập   .
  • Một tập compact hóa một điểm của tập   

Compact hóa một điểm AlexandroffSửa đổi

Cho   là một không gian mà  . Gọi  , xác định một topo trên   như sau:

Một tập mở trong  :

  • là một tập con mở của  ,
  •  , với   là một tập con đóng, compact của  .

Với topo này,   là compact và chứa   như một không gian con. Nếu   không compact thì   trù mật trong    được gọi là compact hóa Alexandroff của  .

Ví dụ:

  • Compact hóa Alexandroff của   .
  • Compact hóa Alexandroff của    đường tròn tiếp xúc với nhau tại một điểm.[3]

Tính chất liên quanSửa đổi

  •   là không gian   nếu   .
  •   là không gian Hausdorff nếu   là Hausdorff và compact địa phương.
  • Nếu   đồng phôi với   thì không gian Hausdorff compact hóa Alexandroff của   sẽ đồng phôi với không gian Hausdorff compact hóa Alexandroff của  . ( )

Compact hóa Stone - CechSửa đổi

Như đã nói, với topo thông thường, compact hóa Alexandroff của   . Tuy nhiên, với một hàm   cho bởi   (Topologist's sine curve) là một hàm bị chặn và liên tục trên   nhưng hoàn toàn không thể được mở rộng liên tục vào  . Như vậy, với trường hợp này, compact hóa Alexandroff chưa bảo đảm tính liên tục của một hàm trên không gian compact hóa. Khi đó, phương pháp compact hóa Stone-Čech sau đây sẽ giải quyết được vấn đề nêu trên. Compact hóa Stone-Čech lần đầu xuất hiện trong một bài báo của Tychonoff (năm 1930) và sau đó được nói đến rõ ràng bởi Marshall Stone (năm 1937) và Eduard Čech (năm 1937).

Định nghĩaSửa đổi

Cho   là một không gian topo, ký hiệu   là tập các hàm liên tục bị chặn từ   vào  . Xét hàm sau

 

Nếu   là chính tắc đầy đủ thì   là một đồng phôi, nghĩa là   là một phép nhúng. Trong trường hợp này, vì   compact nên không gian con   là compact. Khi đó,   được gọi là compact hóa Stone - Cech của  . Hơn nữa, nó là một không gian Hausdorff.

Tính chất liên quan[4]Sửa đổi

  • Cho   là một không gian compact Hausdorff thì với mỗi hàm   liên tục, thì tồn tại duy nhất một hàm mở rộng liên tục   của   .
  •   liên thông khi và chỉ khi   là liên thông.
  •   mở trong   khi và chỉ khi   là một không gian compact địa phương.

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ Munkres, James R. (2000). Topology (ấn bản 2). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. 
  2. ^ Huỳnh, Quang Vũ (2012). Lecture notes on Topology. Ho Chi Minh city University of Science. 
  3. ^ Dương, Minh Đức (2007). Giải Tích Hàm. Đại học Quốc gia Tp.HCM. 
  4. ^ Wyckoff, James J. (1973). Compactifications. Kansas State Teachers College.