Dãy số thực

(đổi hướng từ Dãy số)

Dãy số thực là một danh sách (hữu hạn hoặc vô hạn) liệt kê các số thực theo một thứ tự nào đó.

Định nghĩaSửa đổi

Theo quan điểm của lý thuyết tập hợp dãy số là một ánh xạ a:  , trong đó   là tập hợp số tự nhiên, hoặc tập con của tập số tự nhiên nhỏ hơn / lớn hơn một số tự nhiên m nào đó. Khi đó thay cho a(n) ta dùng ký hiệu an.

an = a(n)

Nếu X là hữu hạn ta có dãy hữu hạn:

am,..., an.

Ngược lại nó được xem là vô hạn.

a0, a1,..., an,...

Đôi khi, dãy hữu hạn cũng có thể được xem là vô hạn với các phần tử từ thứ m trở đi là bằng nhau.

Khi bắt đầu từ phần tử   dãy thường được ký hiệu:

  với xn là phần tử thứ n.

Người ta thường xét hơn các dãy bắt đầu từ phần tử  .

  với xn là phần tử thứ n

Sau đây sẽ chủ yếu đề cập đến các dãy số thực vô hạn. Nhiều định nghĩa và kết quả dưới đây có thể mở rộng cho dãy các phần tử trong không gian metric hoặc không gian topo.

Ý nghĩa thực tếSửa đổi

Trong nhiều bài toán, dãy số có thể được tạo dựng qua quá trình thu thập dữ liệu. Các dữ liệu thu thập có thể gồm nhiều số từ x1, x2,...xn. Tập hợp các số này có thứ tự, nghĩa là có số đầu tiên (x1), số thứ 2 (x2) và các số tiếp theo.

Biên của dãySửa đổi

Cho dãy  . Tập hợp các giá trị của dãy:

 

được gọi là biên của dãy đó.

Biên này không có thứ tự. Ví dụ, cho dãy  , có biên là {-1,1}. Nó có 2 phần tử thay đổi là 1 và -1.

Dãy số thực đơn điệuSửa đổi

Định nghĩaSửa đổi

Cho dãy số thực   với xn là các số thực. Nó là

  • Không tăng khi và chỉ khi   với mọi  .
  • Không giảm khi và chỉ khi   với mọi  .

Nếu dãy có được một trong hai tính chất này, ta gọi dãy đó là dãy đơn điệu.

Ví dụ, với dãy  , ta có  . Do 2 > 1 nên  , hay  . Suy ra   là dãy tăng.

Tính đơn điệu và dấu của đạo hàmSửa đổi

Một cách để xác định một dãy có đơn điệu hay không là dựa vào đạo hàm của hàm số tương ứng.

Ví dụ như cho dãy  . Xét hàm số:

  với  

Lấy đạo hàm của nó, ta thu được:

 

Đạo hàm này nhỏ hơn không khi x > e. Điều này xảy ra với mọi n > 2, nên dãy   là dãy giảm.

Dãy số thực bị chặnSửa đổi

Dãy   bị chặn trên khi và chỉ khi tồn tại T ở đó  , với mọi  . Số T được gọi là giá trị chặn trên.

Ngược lại, dãy   bị chặn dưới khi và chỉ khi tồn tại D ở đó  , với mọi  . Số D được gọi là giá trị chặn dưới.

Nếu một dãy có cả hai tính chất trên thì dãy đó được gọi là dãy bị chặn.

Ví dụ, dãy   bị chặn dưới bởi 3 vì nó luôn có giá trị dương lớn hơn hoặc bằng 3.

Giới hạn của một dãy số thựcSửa đổi

Khái niệm giới hạn của dãy số bắt nguồn từ việc khảo sát một số dãy số thực, có thể tiến "rất gần" một số nào đó. Chẳng hạn, xét dãy số thực:

 
hay
 

Khi cho n tăng lên vô hạn thì phân số   trở nên nhỏ tuỳ ý, do đó số hạng thứ n của dãy   có thể tiến gần đến 1 với khoảng cách nhỏ tuỳ ý. Người ta diễn đạt điều đó bằng định nghĩa sau

Đinh nghĩa

Cho dãy số thực (xn) và một số thực x. Khi đó nếu:

 ,  ,  .

thì x được gọi là giới hạn của dãy (xn). Khi đó ta cũng nói dãy (xn) hội tụ.

Giới hạn của dãy thường được ký hiệu:

 

.

Hoặc

 

Các định lý cơ bảnSửa đổi

  1. Nếu dãy   có giới hạn hữu hạn thì nó bị chặn.
  2. Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn.
  3. Nếu    thì  .
  4. Nếu    thì  .
  5. Dãy đơn điệu tăng (giảm) hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên (dưới).

Tính chấtSửa đổi

Nếu các dãy (xn) và (yn) hội tụ và

  and  

thì

 
 

và (nếu L2 khác 0)

 

Một số giới hạn cơ bảnSửa đổi

 
 
 
 

Vô cùng bé, vô cùng lớnSửa đổi

  • Nếu một dãy số có giới hạn là 0 thì nó được gọi là một vô cùng bé.
  • Nếu: ,  ,  . thì dãy   được gọi là vô cùng lớn. Khi đó ta cũng viết:
 

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi

(bằng tiếng Anh)