Giải thuật Euclid mở rộng

Giải thuật Euclid mở rộng được sử dụng để giải một phương trình vô định nguyên (còn được gọi là phương trình Đi-ô-phăng) có dạng

Trong đó là các hệ số nguyên, là các ẩn nhận giá trị nguyên. Điều kiện cần và đủ để phương trình này có nghiệm (nguyên) là là ước của . Khẳng định này dựa trên một mệnh đề sau:

Nếu thì tồn tại các số nguyên sao cho

Cơ sở lý thuyết của giải thuậtSửa đổi

Giải thuật Eclid mở rộng kết hợp quá trình tìm ƯCLN(a, b) trong thuật toán Eclid với việc tìm một cặp số x, y thoả mãn phương trình Đi-ô-phăng. Giả sử cho hai số tự nhiên a, b, ngoài ra a>b>0. Đặt  , chia   cho   được số dư   và thương số nguyên  . Nếu   thì dừng, nếu   khác không, chia   cho   được số dư  ,...Vì dãy các   là giảm thực sự nên sau hữu hạn bước ta được số dư  .

 ;
 ;
....;
 
 

trong đó số dư cuối cùng khác 0 là  . Bài toán đặt ra là tìm x, y sao cho

 

Để làm điều này, ta tìm x, y theo công thức truy hồi, nghĩa là sẽ tìm

   sao cho:
  với  .

Ta có

  , nghĩa là
  . (1)

Tổng quát, giả sử có

  với  .
  với  .

Khi đó từ

 

suy ra

 
 
 

từ đó, có thể chọn

  (2)
  (3)

Khi   ta có được   . Các công thức (1), (2), (3) là công thức truy hồi để tính x, y.

Giải thuậtSửa đổi

{Thuật toán Euclide: a, b không đồng thời bằng 0, trả về gcd(a, b)}
function gcd(a, b);
begin
  while b  0 do
    begin
      r:= a mod b; a:= b; b:= r;
    end;
  Result:= a;
end;
{Thuật toán Euclide mở rộng: a, b không đồng thời bằng 0, trả về cặp (x, y) sao cho a * x + b * y = gcd(a, b)
Về tư tưởng là ghép quá trình tính cặp số (x, y) vào trong vòng lặp chính của thuật toán Euclide.}
function Extended_gcd(a, b); 
begin
  (xa, ya):= (1, 0);
  (xb, yb):= (0, 1);
  while b  0 do
    begin
      q:= a div b;
      r:= a mod b; a:= b; b:= r; //Đoạn này giống thuật toán Euclide.
      (xr, yr):= (xa, ya) - q * (xb, yb); //Hiểu là: (xr, yr):= (xa, ya) "mod" (xb, yb);
      (xa, ya):= (xb, yb);
      (xb, yb):= (xr, yr);
    end;
  Result:= (xa, ya);
end;

Giải thuật sau chỉ thực hiện với các số nguyên a>b>0, biểu diễn bằng giải mã:

 Sub Euclid_Extended(a,b)
 Dim x0, x, y,y1 As Single
    x0=1: x1=0: y0=0: y1=1
 
 While b>0
      r= a mod b 
      if r=0 then Exit While
      q= a / b
      x= x0-x1*q
      y= y0-y1*q
      a=b
      b=r
      x0=x1     
      x1=x
      y0=y1     
      y1=y
 Wend
    Me.Print d:=b, x, y
code
 End Sub

Ví dụSửa đổi

Với a=29, b=8, giải thuật trải qua các bước như sau

Bước                      
0 29 8 5 3 1 0 1 0 1 -3
1 8 5 3 1 0 1 -1 1 -3 4
2 5 3 2 1 1 -1 2 -3 4 -7
3 3 2 1 1 -1 2 -3 4 -7 11
4 2 1 0 2

Kết quả thuật toán cho đồng thời   ,  .
Dễ dàng kiểm tra hệ thức  

Áp dụng giải thuật Euclid mở rộng tìm số nghịch đảo trong vành Sửa đổi

Số nghịch đảo trong vành  Sửa đổi

Trong lý thuyết số, vành   được định nghĩa là vành thương của   với quan hệ đồng dư theo modulo m (là quan hệ tương đương) mà các phần tử của nó là các lớp đồng dư theo modulo m (m là số nguyên dương lớn hơn 1). Ta cũng có thể xét   chỉ với các đại diện của nó. Khi đó

 

Phép cộng và nhân trong   là phép toán thông thường được rút gọn theo modulo m:

 
 

Phần tử a của   được gọi là khả nghịch trong   hay khả nghịch theo modulo m nếu tồn tại phần tử a' trong   sao cho a*a'=1 trong   hay  . Khi đó a' được gọi là nghịch đảo modulo m của a. Trong lý thuyết số đã chứng minh rằng, số a là khả nghịch theo modulo m khi và chỉ khi ƯCLN của a và m bằng 1.
Khi đó tồn tại các số nguyên x, y sao cho

 

Đẳng thức này lại chỉ ra y là nghịch đảo của a theo modulo m. Do đó có thể tìm được phần tử nghịch đảo của a theo modulo m nhờ thuật toán Euclid mở rộng khi chia m cho a.

Giải thuậtSửa đổi

//a, m > 0. Trả về a^-1 mod m, gcd(a, m) phải bằng 1, chú ý là ta không cần quan tâm y khi giải pt diophante a * x + m * y = 1
function ModuloInverse(a, m);
begin
  xa:= 1; xm:= 0;
  while m  0 do
    begin
      q:= a div m;
      xr:= xa - q * xm;
      xa:= xm;
      xm:= xr;
      r:= a mod m;
      a:= m;
      m:= r;
    end;
  Result:= xa;
end;

Giải thuật sau chỉ thực hiện với các số nguyên m>a>0, biểu diễn bằng giã mã:

 Procedure Euclid_Extended (a,m)
int,  y0=0,y1:=1;

While a>0 do {
     r:= m mod a 
     if r=0 then Break      
     q:= m div a
     y:= y0-y1*q
     y0:=y1     
     y1:=y
     m:=a
     a:=r
     
  }
 If a>1 Then Return "A không khả nghịch theo mođun m" 
 else Return " Nghịch đảo modulo m của a là y"

Ví dụSửa đổi

Tìm số nghịch đảo (nếu có) của 30 theo môđun 101

Bước i m a r q y0 y1 y
0 101 30 11 3 0 1 -3
1 30 11 8 2 1 -3 7
2 11 8 3 1 -3 7 -10
3 8 3 2 2 7 -10 27
4 3 2 1 1 -10 27 -37
5 2 1 0 . . . .

Kết quả tính toán trong bảng cho ta  . Lấy số đối của   theo mođun   được  . Vậy  .

Ứng dụngSửa đổi

Số nghịch đảo theo môđun được ứng dụng nhiều trong việc giải phương trình đồng dư, trong lý thuyết mật mã.

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi