Giới hạn Bekenstein

Trong vật lý, giới hạn Bekenstein (đặt tên theo Jacob Bekenstein) là một chặn trên cho entropy S, hay thông tin I, có thể được chứa trong một vùng không gian hữu hạn với một lượng năng lượng hữu hạn – hay ngược lại, lượng thông tin lớn nhất cần dùng để mô tả hoàn toàn một hệ vật tới tận mức độ lượng tử. Từ đó có thể suy ra rằng lượng thông tin của một hệ vật, hay lượng thông tin cần để mô tả hệ vật đó hoàn hảo, là hữu hạn nếu vùng không gian và năng lượng là hữu hạn. Trong khoa học máy tính, điều này dẫn đến có một mức xử lý thông tin tối đa (giới hạn Bremermann) cho một hệ vật với kích thước và năng lượng hữu hạn, và một chiếc máy Turing với hữu hạn chiều vật lý và bộ nhớ vô hạn là không thể tồn tại.

Công thức

Dạng bất đẳng thức thường thấy của giới hạn này được Jacob Bekenstein tìm ra là

$S\leq {\frac {2\pi kRE}{\hbar c}},$

trong đó S là entropy, k là hằng số Boltzmann, R là bán kính của mặt cầu bao quanh hệ đã cho, E là khối lượng–năng lượng tổng cộng tính cả khối lượng nghỉ, ħ là hằng số Planck thu gọn, và c là tốc độ ánh sáng. Để ý rằng tuy trọng lực đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành nên giới hạn, nhưng hằng số hấp dẫn G không có trong bất đẳng thức này.

Nếu biểu diễn bằng thông tin, với S = kIln 2, giới hạn này được tính bằng

$I\leq {\frac {2\pi RE}{\hbar c\ln 2}},$

trong đó I là lượng thông tin biểu diễn bằng số bit chứa trong trạng thái lượng tử của quả cầu. Hệ số ln 2 là do thông tin được định nghĩa là logarit cơ số 2 của số trạng thái lượng tử. Sử dụng sự tương đương khối lượng–năng lượng, giới hạn thông tin trên có thể viết lại thành

$I\leq {\frac {2\pi cRM}{\hbar \ln 2}}\approx 2.5769082\times 10^{43}\ {\frac {\text{bit}}{{\text{kg}}\cdot {\text{m}}}}\cdot M\cdot R,$

trong đó M là khối lượng, còn R là bán kính của hệ.

Nguồn gốc

Bekenstein tìm được chặn trên này từ suy luận heuristic liên quan đến lỗ đen. Nếu một hệ tồn tại và vi phạm giới hạn này, tức có quá nhiều entropy, Bekenstein chỉ ra rằng có thể vi phạm định luật hai của nhiệt động lực học bằng cách cho nó vào trong một lỗ đen. Năm 1995, nhà vật lý Ted Jacobson chỉ ra rằng phương trình trường Einstein (tức thuyết tương đối rộng) có thể được suy ra bằng cách giả sử giới hạn Bekenstein và các định luật nhiệt động lực học là đúng. Tuy một số lập luận đã được đưa ra rằng một giới hạn như thế phải tồn tại để các định luật nhiệt động lực học và thuyết tương đối rộng đều phù hợp, phát biểu giới hạn chính xác vẫn là vấn đề gây tranh cãi cho đến khi Casini giải quyết nó năm 2008.

Chứng minh bằng lý thuyết trường lượng tử

Một chứng minh của giới hạn Bekenstein trong khuôn khổ của lý thuyết trường lượng tử được đưa ra năm 2008 bởi Horacio Casini. Một trong những sáng kiến quan trọng của chứng minh này là tìm được biểu diễn phù hợp cho các đại lượng ở hai bên bất đẳng thức.

Định nghĩa thông thường của entropy và mật độ năng lượng trong lý thuyết trường lượng tử gặp vấn đề phân kỳ tử ngoại. Trong trường hợp của giới hạn Bekenstein, phân kỳ tử ngoại có thể được giải quyết bằng cách lấy hiệu giữa đại lượng tính được trong trạng thái kích thích và trong trạng thái chân không. Ví dụ, với một vùng không gian V, Casini định nghĩa entropy ở vế trái của giới hạn Bekenstein là

$S_{V}=S(\rho _{V})-S(\rho _{V}^{0})=-\mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V})+\mathrm {tr} (\rho _{V}^{0}\log \rho _{V}^{0})$

trong đó S(ρ_V) là entropy von Neumann của ma trận mật độ thu gọn ρ_V của V trong trạng thái kích thích ρ, và S(ρ⁰
_V) là entropy Von Newmann cho trạng thái chân không ρ⁰.

Ở vế phải của giới hạn Bekenstein, một phần khó là lý luận chặt chẽ cho đại lượng 2πRE, trong đó R là độ dài đặc trưng của hệ và E là năng lượgn đặc trưng. Tích này có cùng đơn vị với tập sinh của phép gia tăng Lorentz, và một khái niệm tương tự với gia tăng trong trường hợp này là Hamiltonian môđun của trạng thái chân không K = −log ρ⁰
_V. Casini định nghĩa vế phải của giới hạn Bekenstein là hiệu giữa giá trị kỳ vọng của Hamiltonian môđun trong trạng thái kích thích và trong trạng thái chân không,

$K_{V}=\mathrm {tr} (K\rho _{V})-\mathrm {tr} (K\rho _{V}^{0}).$

Với những định nghĩa này, giới hạn trở thành

$S_{V}\leq K_{V},$

và có thể được biến đổi thành

$\mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V})-\mathrm {tr} (\rho _{V}\log \rho _{V}^{0})\geq 0.$

Đây là phát biểu rằng entropy tương đối luôn dương, chứng minh giới hạn Bekenstein.

Ví dụ

Lỗ đen

Entropy rìa Bekenstein–Hawking của lỗ đen ba chiều bằng đúng giá trị giới hạn

$r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},$

$A=4\pi r_{s}^{2}={\frac {16\pi G^{2}M^{2}}{c^{4}}},$

$l_{P}^{2}=\hbar G/c^{3},$

$S={\frac {kA}{4l_{P}^{2}}}={\frac {4\pi kGM^{2}}{\hbar c}},$

trong đó k là hằng số Boltzmann, A là diện tích hai chiều của chân trời sự kiện của lỗ đen tính bằng đơn vị diện tích Planck, $l_{P}^{2}=\hbar G/c^{3}$.

Giới hạn này liên quan mật thiết đến nhiệt động lực học lỗ đen, nguyên lý toàn ảnh, và giới hạn toàn ảnh Bousso của hấp dẫn lượng tử, và có thể được suy ra từ dạng mạnh hơn của giới hạn Bousso.

Não người

Não người trung bình nặng khoảng 1.5 kg và có thể tích là 1260 cm³. Nếu ta xấp xỉ bộ não bằng một hình cầu, thì bán kính của nó sẽ vào khoảng 6.7 cm.

Giới hạn thông tin Bekenstein khi ấy sẽ vào khoảng 2.6×10⁴² bit, lượng thông tin tối đa cần dùng để mô phỏng hoàn hảo bộ não con người xuống mức dộ lượng tử. Điều này nghĩa là số trạng thái lượng tử O = 2^I của não người không vượt quá $\approx 10^{7.8\times 10^{41}}$.

Xem thêm

• Định lý Margolus–Levitin
• Nguyên lý Landauer
• Độ phức tạp Kolmogorov
• Nhiệt động lực học hố đen
• Bộ não Boltzmann
• Vật lý kỹ thuật số
• Giới hạn Chandrasekhar

Liên kết ngoài

• Jacob D. Bekenstein, "Bekenstein bound", Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7374, doi:10.4249/scholarpedia.7374.
• Jacob D. Bekenstein, "Bekenstein-Hawking entropy", Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7375, doi:10.4249/scholarpedia.7375.
• Website của Jacob D. Bekenstein tại Viện Vật lý Racah, Hebrew University of Jerusalem, chứa một số bài viết về giới hạn Bekenstein.
• O'Dowd, Matt (ngày 12 tháng 9 năm 2018). “How Much Information is in the Universe?”. PBS Space Time – qua YouTube.