Định nghĩa
sửa
Hàm von Mangoldt, ký hiệu bởi Λ(n ) , được định nghĩa bởi
Λ
(
n
)
=
{
log
p
if
n
=
p
k
for some prime
p
and integer
k
≥
1
,
0
otherwise.
{\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
Giá trị của Λ(n ) cho chín số nguyên dương đầu tiên là
0
,
log
2
,
log
3
,
log
2
,
log
5
,
0
,
log
7
,
log
2
,
log
3
,
{\displaystyle 0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,}
liên quan tới (dãy số A014963 trong bảng OEIS ).
Hàm tổng von Mangoldt , ψ (x ) , còn được gọi là hàm Chebyshev thứ hai, được định nghĩa bởi
ψ
(
x
)
=
∑
n
≤
x
Λ
(
n
)
.
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).}
Các tính chất
sửa
Hàm von Mangoldt thỏa mãn định thức sau:[1] [2]
log
(
n
)
=
∑
d
∣
n
Λ
(
d
)
.
{\displaystyle \log(n)=\sum _{d\mid n}\Lambda (d).}
Tổng được lấy trên tất cả các số nguyên d là ước của n . Điều này được chứng minh bởi định lý cơ bản của số học , vì giá trị hàm của các phần tử không phải là lũy thừa của số nguyên tố bằng 0 . Ví dụ, xét trường hợp n = 12 = 22 × 3 , khi đó:
∑
d
∣
12
Λ
(
d
)
=
Λ
(
1
)
+
Λ
(
2
)
+
Λ
(
3
)
+
Λ
(
4
)
+
Λ
(
6
)
+
Λ
(
12
)
=
Λ
(
1
)
+
Λ
(
2
)
+
Λ
(
3
)
+
Λ
(
2
2
)
+
Λ
(
2
×
3
)
+
Λ
(
2
2
×
3
)
=
0
+
log
(
2
)
+
log
(
3
)
+
log
(
2
)
+
0
+
0
=
log
(
2
×
3
×
2
)
=
log
(
12
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda \left(2^{2}\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2\times 3\times 2)\\&=\log(12).\end{aligned}}}
Bằng phép nghịch đảo Möbius, ta được [2] [3] [4]
Λ
(
n
)
=
−
∑
d
∣
n
μ
(
d
)
log
(
d
)
.
{\displaystyle \Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)\ .}
Với mọi
x
≥
1
{\displaystyle x\geq 1}
, ta có [5]
∑
n
≤
x
Λ
(
n
)
n
=
log
x
+
O
(
1
)
.
{\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}=\log x+O(1).}
Ngoài ra, tồn tại hai hằng số
c
1
{\displaystyle c_{1}}
và
c
2
{\displaystyle c_{2}}
sao cho
ψ
(
x
)
≤
c
1
x
,
{\displaystyle \psi (x)\leq c_{1}x,}
với mọi
x
≥
1
{\displaystyle x\geq 1}
, và
ψ
(
x
)
≥
c
2
x
,
{\displaystyle \psi (x)\geq c_{2}x,}
cho mọi x đủ lớn.
Chuỗi Dirichlet
sửa
Hàm von Mangoldt function đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết của chuỗi Dirichlet , và cụ thể hơn là hàm zeta Riemann . Ví dụ chẳng hạn, ta có
log
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
2
∞
Λ
(
n
)
log
(
n
)
1
n
s
,
Re
(
s
)
>
1.
{\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}},\qquad {\text{Re}}(s)>1.}
Đạo hàm lôgarit của nó như sau[6]
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
=
−
∑
n
=
1
∞
Λ
(
n
)
n
s
.
{\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}
Các công thức trên là trường hợp đặc biệt của dạng tổng quát trên chuỗi Dirichlet. Nếu ta có
F
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
n
s
{\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}
với
f
(
n
)
{\displaystyle f(n)}
là hàm nhân đầy đủ và chuỗi hội tụ khi Re(s ) > σ0 , thì
F
′
(
s
)
F
(
s
)
=
−
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
Λ
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}
hội tụ khi Re(s ) > σ0 .
Hàm Chebyshev
sửa
Hàm Chebyshev thứ hai ψ (x ) là hàm tổng của hàm von Mangoldt:[7]
ψ
(
x
)
=
∑
p
k
≤
x
log
p
=
∑
n
≤
x
Λ
(
n
)
.
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\ .}
Hàm được giới thiệu bởi Pafnuty Chebyshev , nhà toán học này dùng nó để chứng minh bậc của hàm đếm số nguyên tố
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
là
x
/
log
x
{\displaystyle x/\log x}
. Von Mangoldt đưa ra bài chứng minh chặt chẽ cho một công thức cụ thể cho ψ (x ) bao gồm tổng trên các trên không điểm không tầm thường của hàm zeta Riemann . Nội dung này đóng vai trò quan trọng trong bài chứng minh đầu tiên cho định lý số nguyên tố .
Ta có thể tìm biến đổi Mellin của hàm Chebyshev bằng cách áp dụng công thức Perron :
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
=
−
s
∫
1
∞
ψ
(
x
)
x
s
+
1
d
x
{\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}\,dx}
đẳng thức chỉ đúng khi Re(s ) > 1 .
Tham khảo
sửa
^ Apostol (1976) p.32
^ a b Tenenbaum (1995) p.30
^ Apostol (1976) p.33
^ Schroeder, Manfred R. (1997). Number theory in science and communication. With applications in cryptography, physics, digital information, computing, and self-similarity . Springer Series in Information Sciences. 7 (ấn bản 3). Berlin: Springer-Verlag . ISBN 3-540-62006-0 . Zbl 0997.11501 .
^ Apostol (1976) p.88
^ Hardy & Wright (2008) §17.7, Theorem 294
^ Apostol (1976) p.246