Trong hình học không gian , hình đới cầu , khối đới cầu hay, cầu đài , cầu phân (spherical segment), là một phần của khối cầu đặc, xác định bằng cách cắt khối cầu bởi hai mặt phẳng song song . Phần bề mặt cong của nó gọi là mặt đới cầu .
Hình đới cầu hay cầu phân. Thể tích của hình đới cầu bằng:
V
=
π
h
6
(
3
a
1
2
+
3
a
2
2
+
h
2
)
{\displaystyle V={\frac {\pi h}{6}}(3a_{1}^{2}+3a_{2}^{2}+h^{2})}
với
a
1
,
a
2
{\displaystyle a_{1},a_{2}}
h
{\displaystyle h}
mặt đới cầu bằng:
M
=
2
π
r
h
{\displaystyle M=2\pi rh}
và tổng diện tích bề mặt hình đới cầu (hai mặt phẳng đáy và đỉnh và mặt đới cầu):
O
=
π
(
2
r
h
+
a
1
2
+
a
2
2
)
{\displaystyle O=\pi (2rh+a_{1}^{2}+a_{2}^{2})}
Từ các dữ liệu
a
1
,
a
2
,
h
{\displaystyle a_{1},a_{2},h}
mặt cầu bao hình đới cầu bằng:
r
2
=
a
1
2
+
(
a
1
2
−
a
2
2
−
h
2
2
h
)
2
{\displaystyle r^{2}=a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2h}}\right)^{2}}
Chứng minh công thức
sửa
Thể tích của hình đới cầu bằng thể tích của hình chỏm cầu (spherical cap) lớn
S
1
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}
S
2
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}
h
1
{\displaystyle h_{1}}
S
1
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}
h
2
{\displaystyle h_{2}}
S
2
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}
Thể tích
sửa
Thể tích của các hình chỏm cầu lần lượt bằng
V
1
=
π
h
1
2
3
(
3
r
−
h
1
)
,
V
2
=
π
h
2
2
3
(
3
r
−
h
2
)
{\displaystyle V_{1}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r-h_{1}),\ V_{2}={\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r-h_{2})}
hình chỏm cầu ). Do vậy
V
=
V
1
−
V
2
=
π
3
(
3
(
h
1
2
−
h
2
2
)
r
−
(
h
1
3
−
h
2
3
)
{\displaystyle V=V_{1}-V_{2}={\frac {\pi }{3}}(3(h_{1}^{2}-h_{2}^{2})r-(h_{1}^{3}-h_{2}^{3})}
=
π
3
(
h
1
−
h
2
)
(
3
(
h
1
+
h
2
)
r
−
(
h
1
2
+
h
1
h
2
+
h
2
2
)
)
{\displaystyle ={\frac {\pi }{3}}(h_{1}-h_{2})(3(h_{1}+h_{2})r-(h_{1}^{2}+h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}))}
Với mối liên hệ
2
r
h
1
=
a
1
2
+
h
1
2
,
2
r
h
2
=
a
2
2
+
h
2
2
,
{\displaystyle 2rh_{1}=a_{1}^{2}+h_{1}^{2},\ 2rh_{2}=a_{2}^{2}+h_{2}^{2},}
V
=
π
3
(
h
1
−
h
2
)
(
3
2
(
a
1
2
+
h
1
2
+
a
2
2
+
h
2
2
)
−
h
1
2
−
h
1
h
2
−
h
2
2
)
{\displaystyle V={\frac {\pi }{3}}(h_{1}-h_{2})\left({\frac {3}{2}}(a_{1}^{2}+h_{1}^{2}+a_{2}^{2}+h_{2}^{2})-h_{1}^{2}-h_{1}h_{2}-h_{2}^{2}\right)}
=
π
6
(
h
1
−
h
2
)
(
3
(
a
1
2
+
a
2
2
)
+
(
h
1
−
h
2
)
2
)
{\displaystyle ={\frac {\pi }{6}}(h_{1}-h_{2})(3(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+(h_{1}-h_{2})^{2})}
Vì
h
=
h
1
−
h
2
{\displaystyle h=h_{1}-h_{2}}
V
=
π
h
6
(
3
a
1
2
+
3
a
2
2
+
h
2
)
{\displaystyle V={\frac {\pi h}{6}}(3a_{1}^{2}+3a_{2}^{2}+h^{2})}
Diện tích mặt đới cầu
sửa
Với diện tích mặt đới cầu chứng minh tương tự
M
=
M
1
−
M
2
=
2
π
r
h
1
−
2
π
r
h
2
=
2
π
r
(
h
1
−
h
2
)
=
2
π
r
h
{\displaystyle M=M_{1}-M_{2}=2\pi rh_{1}-2\pi rh_{2}=2\pi r(h_{1}-h_{2})=2\pi rh}
Bán kính mặt cầu
sửa
Để chứng minh mối quan hệ giữa
r
,
a
1
,
a
2
,
h
{\displaystyle r,a_{1},a_{2},h}
d
{\displaystyle d}
M
{\displaystyle M}
(
1
)
:
r
2
=
d
2
+
a
1
2
(
2
)
:
r
2
=
(
d
+
h
)
2
+
a
2
2
{\displaystyle (1):\ r^{2}=d^{2}+a_{1}^{2}\quad (2):\ r^{2}=(d+h)^{2}+a_{2}^{2}}
Đặt hai phương trình bằng nhau và thay thế
d
{\displaystyle d}
d
=
a
1
2
−
a
2
2
−
h
2
2
h
{\displaystyle d={\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2h}}}
r
2
=
a
1
2
+
(
a
1
2
−
a
2
2
−
h
2
2
h
)
2
{\displaystyle r^{2}=a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2h}}\right)^{2}}
Xem thêm
sửa
Thư mục
sửa
Kern, William F.; Bland, James R. (1938). Solid Mensuration with Proofs 95 –97. I. Bronstein u.a.: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, Frankfurt 2001, ISBN 3-8171-2005-2 .
Kleine Enzyklopädie Mathematik , Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.L. Kusch u.a.: Mathematik, Teil 4 Integralrechnung. Cornelsen, Berlin 2000, ISBN 3-464-41304-7 . Tham khảo
sửa
Liên kết ngoài
sửa
