Nhắc đến các hằng đẳng thức quan trong thì phải nhắc đến bảy hằng đẳng thức [1]
Bình phương của một tổng:
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,}
Bình phương của một hiệu:
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,}
Hiệu hai bình phương:
a
2
−
b
2
=
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\,}
Lập phương của một tổng:
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
b
3
{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,}
Lập phương của một hiệu:
(
a
−
b
)
3
=
a
3
−
3
a
2
b
+
3
a
b
2
−
b
3
{\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,}
Tổng hai lập phương:
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
=
(
a
+
b
)
3
−
3
a
2
b
−
3
a
b
2
=
(
a
+
b
)
3
−
3
a
b
(
a
+
b
)
{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=(a+b)^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)}
Hiệu hai lập phương:
a
3
−
b
3
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
=
(
a
−
b
)
3
+
3
a
2
b
−
3
a
b
2
=
(
a
−
b
)
3
+
3
a
b
(
a
−
b
)
{\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=(a-b)^{3}+3a^{2}b-3ab^{2}=(a-b)^{3}+3ab(a-b)}
Những đẳng thức này được sử dụng thường xuyên trong các bài toán liên quan đến giải phương trình , nhân chia các đa thức, biến đổi biểu thức tại cấp học trung học cơ sở và trung học phổ thông. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ giúp giải nhanh những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử .
Ngoài ra, người ta đã suy ra được các hằng đẳng thức mở rộng liên quan đến các hằng đẳng thức trên:
(
a
+
b
+
c
)
3
=
a
3
+
b
3
+
c
3
+
3
(
a
+
b
)
(
b
+
c
)
(
c
+
a
)
{\displaystyle (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)\,}
a
3
+
b
3
+
c
3
−
3
a
b
c
=
(
a
+
b
+
c
)
(
a
2
+
b
2
+
c
2
−
a
b
−
b
c
−
c
a
)
{\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\,}
(
a
−
b
−
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
−
2
a
b
+
2
b
c
−
2
c
a
{\displaystyle (a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab+2bc-2ca\,}
(
a
+
b
+
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2
a
b
+
2
b
c
+
2
c
a
{\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\,}
(
a
+
b
−
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2
a
b
−
2
b
c
−
2
c
a
{\displaystyle (a+b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab-2bc-2ca\,}
Hằng đẳng thức Roy Sửa đổi
∂
e
(
u
,
p
)
∂
p
i
=
−
∂
ψ
[
e
(
u
,
p
)
,
p
]
∂
p
i
∂
ψ
[
e
(
u
,
p
)
,
p
]
∂
m
=
x
i
(
m
,
p
)
{\displaystyle {\frac {\partial e(u,p)}{\partial p_{i}}}=-{\frac {\frac {\partial \psi \ [e(u,p),p]}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial \psi \ [e(u,p),p]}{\partial m}}}=x_{i}(m,p)}
e(u,p) là hàm chi tiêu
p_i là mức giá của mặt hàng i
m là thu nhập có thể sử dụng được
x_i là lượng cầu về mặt hàng i Đẳng thức về tính chất bắc cầu Sửa đổi
a
=
b
;
b
=
c
⇒
a
=
c
{\displaystyle a=b;b=c\Rightarrow \ a=c}
Từ đẳng thức trên có thể suy ra các hằng đẳng thức sau:
a
=
b
⇒
a
+
c
=
b
+
c
{\displaystyle a=b\Rightarrow a+c=b+c}
a
=
b
⇒
a
−
c
=
b
−
c
{\displaystyle a=b\Rightarrow a-c=b-c}
a
=
b
⇒
a
c
=
b
c
{\displaystyle a=b\Rightarrow ac=bc}
a
=
b
⇒
a
/
c
=
b
/
c
{\displaystyle a=b\Rightarrow a/c=b/c}
Hằng đẳng thức về căn bậc hai Sửa đổi Hằng đẳng thức này dùng để rút gọn hoặc tính toán các căn bậc hai:
A
2
=
|
A
|
{\displaystyle {\sqrt {{A}^{2}}}=|A|}
Và còn rất nhiều các hằng đẳng thức hữu ích khác.
![{\displaystyle {\frac {\partial e(u,p)}{\partial p_{i}}}=-{\frac {\frac {\partial \psi \ [e(u,p),p]}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial \psi \ [e(u,p),p]}{\partial m}}}=x_{i}(m,p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91207cf93bf462941ba427500e9ae064635a0b22)
