Mở trình đơn chính

Phân tích nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử
Đa thức x2 + cx + d, trong đó a + b = cab = d, có thể phân tích thành (x + a)(x + b).

Phân tích nhân tử là một thuật ngữ toán học dùng để chỉ một cách viết một số nguyên, hay tổng quát là một vật thể toán học, thành một phép nhân của các số nguyên khác, hay tổng quát là các vật thể toán học khác. Các số nguyên, hay vật thể toán học, nằm trong phép nhân gọi là nhân tử.

Ví dụSửa đổi

Phép tính nhân tử với số nguyênSửa đổi

Ví dụ một phép phân tích nhân tử với số nguyên:

 
 

Đa thức và phân tích nhân tửSửa đổi

Các đa thức cũng có thể được phân tích thành tích của các đa thức khác. Ví dụ:

   

 

 

 

 

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tửSửa đổi

Phương pháp đặt nhân tử chungSửa đổi

Nếu các hạng tử của đa thức đều có nhân tử chung thì ta có thể đặt nhân tử chung đó làm thừa số. VD:

   

Áp dụng hằng đẳng thứcSửa đổi

Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức. VD:

   

Những hằng đẳng thức đáng nhớ[1]Sửa đổi

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

6.  

7.  

Hệ thức liên quanSửa đổi

1.  

2.  

3.  

4.  

5. Tổng quát:

   

Hằng đẳng thức mở rộngSửa đổi

8.  

9.   (n lẻ)

Nhị thức Niu-tơn[2]Sửa đổi

Với đa thức   ta có:

  •    
  •  
  •  
  •  
  •  

Ta nhận thấy khi khai triển   ta được một đa thức chứa n+1 hạng tử, trong đó, hạng tử đầu là  , hạng tử cuối là   và các hạng tử còn lại chứa các nhân tử   .

Vì vậy:  

Tam giác pascal[2]Sửa đổi

Nếu viết riêng các hệ số bên phải, ta được bảng sau:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

................................

Ta nhận thấy từ hàng thứ hai trở đi một số bất kì ở trong tam giác đúng bằng tổng của số cùng cột trên một hàng và số trước một cột trên một hàng, cụ thể:

(0) 1 (0)
       
(0) 1 1 (0)
           
(0) 1 2 1 (0)
             
(0) 1 3 3 1 (0)
                   
(0) 1 4 6 4 1 (0)

Phương pháp nhóm các hạng tửSửa đổi

Nếu một đa thức có nhiều hạng tử, nhóm lại với nhau mà phân tích thành nhân tử chung được thì nhóm chúng lại theo từng nhóm thích hợp để phân tích đa thức đó thành nhân tử. VD:

   
 
 

Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tửSửa đổi

Phương pháp dựa vào nghiệm tìm được của đa thứcSửa đổi

- Nếu đa thức có nghiệm là a thì đa thức đó phân tích được thành nhân tử mà một nhân tử là x-a.

- Một số cách tìm nghiệm:

1. Nhẩm nghiệm[3]

+ Nếu đa thức f(x) có nghiệm nguyên thì đó phải là ước của hệ số tự do.

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x–1

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x+1

+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1);f(−1) khác 0 thì    đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do.

Ta nhận thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = ±1;±2;±4, chỉ có f(2)=0 nên x=2 là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x–2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x–2.

Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x+1.

+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng   trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất. +Tính chất:Nếu một đa thức  nghiệm   thì đa thức   sẽ được phân tích thành:  trong đó  .

VD: PTĐT thành nhân tử:

 .Coi đa thức này là 1 đa thức có biến x, các biến còn lại là hệ số. Thay  ,ta có: 

  là một nghiệm của đa thức    

 

 

 

 

2. Biệt số delta Δ (Áp dụng với các tam thức bậc hai) [4]

Xét tam thức bậc hai ax2 + bx + c (a ≠ 0)

Δ = b2 - 4ac

Nếu Δ   0 thì đa thức có nghiệm:

  • Δ   0 thì đa thức có 2 nghiệm phân biệt:

 

 

  • Δ   0 thì đa thức có 1 nghiệm là  

Nếu Δ   0 thì đa thức vô nghiệm.

Tam thức bậc haiSửa đổi

Tam thức bậc hai có dạng ax2 + bx + c (a ≠ 0), ta tách hệ số b như sau:

ax2 + bx + c = ax2 + b­1x + b2x + c với  

Một số phương pháp tách hạng tử khácSửa đổi

VD 1: PTĐT sau thành nhân tử:

 

Ta có:  

 

 

 

 

 

 

Phương pháp thêm bớt hạng tửSửa đổi

Các đa thức có dạng     như:

 ;  ;  ;  ;  ;…đều có nhân tử chung là  

VD: Ở đây

Thêm bớt hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phươngSửa đổi

[3] VD:  

 

 

 

Phương pháp đổi biếnSửa đổi

VD: PTĐT sau thành nhân tử

A = 

A 

 

Đặt   khi đó:

A  

 

 

 

 

Trong bài toán trên ta đã đổi đa thức biến x trên thành đa thức biến y. Vì vậy, phương pháp trên được gọi là phương pháp đổi biến.

Phương pháp xét giá trị riêngSửa đổi

VD: PTĐT sau thành nhân tử:

A =  

Thay x = y ta có: A = 0

Do đó: x = y là một nghiệm của đa thức trên hay đa thức trên chứa nhân tử x-y.

Lại có x, y, z có vai trò bình đẳng nên

A =  

Vì A là 1 đa thức bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z và (x - y)(y - z)(z - x) là 1 đat thức bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z nên a là 1 hằng số.

  đúng với   x, y, z nên ta gán cho x, y, z các giá trị riêng.

Chẳng hạn x=1, y=0, z=-1 ta có:

 

   

   

Vậy  

Phương pháp dùng các đẳng thức đặc biệtSửa đổi

Với mọi x, y, z thực ta luôn có:
1. (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = 3(x + y)(y + z)(z + y)
2. x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)
Hệ quả:
Nếu x + y + z = 0 hoặc x = y = z = 0 thì
x3 + y3 + z3 = 3xyz

Phương pháp hệ số bất địnhSửa đổi

VD: PTĐT sau thành 2 tam thức có hệ số nguyên:

A =  

Đặt A =  

 

Đồng nhất hệ số ta có:

 

Vậy A =  

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ SGK Toán 8 tập 1
  2. ^ a ă Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8, Bùi Văn Tuyên, xuất bản tháng 1 năm 2013, trang 6, 7
  3. ^ a ă Nâng cao và phát triển toán lớp 8, tập 1, Vũ Hữu Bình, xuất bản tháng 3 năm 2007, trang 7, 8, 39 - 46
  4. ^ SGK Toán 9 tập 2