Nhóm lũy linh cùng với nhóm giải được là các cấu trúc cơ bản của đại số trừu tượng.

Định nghĩaSửa đổi

Chuỗi tâm trênSửa đổi

Tồn tại một nhóm  lũy linh nếu nó có các chuỗi tâm trên ổn định sau khi hữu hạn toàn bộ nhóm (tức là tồn tại một số tự nhiên   sao cho  . Sau đây chúng ta định nghĩa   bằng phương pháp quy nạp:

Tâm   là tạo ảnh của tâm   dưới các ánh xạ thương từ   đến    là nhóm con chuẩn tắc của  .

Chuỗi tâm dướiSửa đổi

  là lũy linh nếu tồn tại một số tự nhiên   sao cho   là chuẩn tắc với   được nhắc lại   lần.   là giao hoán tử của các tập con của  .

Chuỗi tâmSửa đổi

  là lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên   và một dãy con hữu hạn:

  và mỗi  nhóm con chuẩn tắc của   tâm của  .

Nhóm con chéo bình thường của tích Descartes của nhóm (tạm dịch)Sửa đổi

Tập   là nhóm con của tích Descartes   với mọi  .

Tích giao hoán tử chuẩn-trái chuẩn tắc (tạm dịch)Sửa đổi

Tồn tại độ dài subnormal (không dịch được)   sao cho   nhận giá trị của phần tử đơn vị với mọi  .

Tích giao hoán tử chuẩn-"bất kỳ hướng" chuẩn tắc (tạm dịch)Sửa đổi

Tồn tại số   như trên sao cho mọi tích giao hoán tử bao gồm   tích giao hoán tử.

Trong trường hợp  , biểu thức

 ,

  đều nhận giá trị của phần tử đơn vị.

Tích giao hoán tử chuẩn-trái chuẩn tắc tổng quátSửa đổi

Giống tích giao hoán tử chuẩn-trái chuẩn tắc nhưng tổng quát hơn.

Ví dụSửa đổi

  • Nhóm chuẩn tắc là lũy linh trên lớp lũy linh cấp  .
  • Mọi nhóm Abel là lũy linh trên lớp lũy linh cấp  .
  • Nhóm D8 là lũy linh nhưng không Abel.
  • Nhóm quaternion lũy linh nhưng không Abel.

Tính chấtSửa đổi

  • Giả tốt.
  • Nếu   lũy linh, nhóm con   cũng lũy linh.
  • Nếu   lũy linh và có nhóm con bình thường   thì nhóm thương   cũng lũy linh.
  • Nếu   lũy linh, tích Descartes   cũng lũy linh.
  • Nếu   lũy linh và tồn tại các nhóm con bình thường   thì tích trong của chúng cũng lũy linh.
  • Nếu   là nhóm isoclinic và   lũy linh, nhóm   cũng lũy linh.

Tham khảoSửa đổi

  • Homology in group theory, by Urs Stammbach, Lecture Notes in Mathematics, Volume 359, Springer-Verlag, New York, 1973, vii+183 pp. review
  • Suprunenko, D. A. (1976). Matrix Groups. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1341-2.
  • Hungerford, Thomas Gordon (1974). Algebra. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90518-9.
  • Palmer, Theodore W. (1994). Banach algebras and the general theory of *-algebras. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36638-0.
  • Friedrich Von Haeseler (2002). Automatic Sequences (De Gruyter Expositions in Mathematics, 36). Berlin: Walter de Gruyter. ISBN 3-11-015629-6.
  • Isaacs, I. Martin (2008). Finite group theory. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4344-3.
  • Zassenhaus, Hans (1999). The theory of groups. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-40922-8.
  • Bechtell, Homer (1971). The theory of groups. Addison-Wesley.
  • Tabachnikova, Olga; Smith, Geoff (2000). Topics in Group Theory (Springer Undergraduate Mathematics Series). Berlin: Springer. ISBN 1-85233-235-2.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)